RELAZIONI E FUNZIONI Il teorema sulla continuità di una funzione in un punto, enunciato nell unità 2, stabilisce che per essere certi che una funzione f sia continua nel punto di ascissa x0, è necessario e sufficiente che: lim f(x 0 + h) f(x 0) = 0 h 0 Calcoliamo, quindi, il valore di questo limite. h Poiché sappiamo che la funzione è derivabile in x0, possiamo moltiplicare per _ h (che equivale a 1) e applicare il teorema del limite di un prodotto. Otteniamo quindi: f(x 0 + h) f(x 0) lim f(x 0 + h) f(x 0) = lim _______________ h = f (x 0) lim h = 0 h 0 h 0 h 0 h perché f (x 0) è una costante che, moltiplicata per 0, dà come risultato 0. Ciò significa che la funzione y = f(x) è continua per x = x0. Non è però vero il contrario: esistono funzioni continue in un punto, ma ivi non derivabili. Per esempio, consideriamo la funzione y = |x|. Questa è sempre definita e continua e il suo grafico è formato da due semirette di estremo l origine: per x 0 la semiretta ha coefficiente angolare +1: y O x Il limite del rapporto incrementale della funzione y = |x| in x0 = 0 è: 1 se h 0 (limite destro) non esiste se h = 0 quindi la funzione y = |x| non ha derivata in x = 0 perché, per x che tende a 0, il limite sinistro e il limite destro del rapporto incrementale sono diversi. Il grafico della sua derivata per x 0 è nella figura qui sotto. y 1 O KEYWORDS K ppunto angoloso / corner point 1 x In x = 0 la funzione derivata non è definita. Il punto x0 = 0 è detto punto angoloso. La continuità di una funzione è quindi una condizione necessaria, ma non sufficiente, per la sua derivabilità. 258