La derivabilità e la continuità

5 Calcolo delle derivate cioè il rapporto tra l incremento della variabile dipendente e il corrispondente incremento della variabile indipendente. Possiamo allora dire che la derivata della funzione f (x) nel punto x0 è il limite del rapporto incrementale della funzione calcolato in corrispondenza del valore x0 al tendere a 0 dell incremento h. Tale limite, indicato con f (x0), è un numero reale ed è chiamato derivata della funzione f nel punto di ascissa x0. Se la funzione y = f(x) è derivabile in tutti i punti dell intervallo (o in tutto il suo insieme di definizione), allora parliamo di funzione derivata: y = f (x) nell intervallo (o nell insieme di definizione) della funzione data. La funzione derivata associa a ogni valore x dell intervallo considerato (o del suo insieme di definizione) di y = f(x) la sua derivata nel corrispondente punto. KEYWORDS K d derivata della funzione / derivative of the function ATTENZIONE! A Diversi sono i simboli con cui viene indicata la funzione derivata: Di dy df _ _ f Df y dx dx Nei fenomeni fisici in cui una grandezza x dipende dalla variabile tempo, si usa talvolta anche la notazione di Newton, x, (in cui un puntino è posto sopra la variabile x). Questa notazione sta a indicare la derivata della variabile x rispetto alla variabile t. Anche per indicare il numero che è il valore della derivata in un punto di ascissa x0 si usano simboli diversi: f (x0) Df (x0) y (x0) Occorre sempre fare attenzione al fatto che mentre per derivata di una funzione si intende in generale la funzione derivata, per derivata di una funzione in un punto, oppure derivata calcolata in un punto, si intende un numero reale. Abbiamo visto nell unità precedente che la derivata di una funzione in un punto rappresenta la direzione della retta tangente al grafico in quel punto: ne è, se esiste, il coefficiente angolare. La funzione derivata di una funzione data dà, quindi, punto per punto il coefficiente angolare della tangente al suo grafico. esempio O Calcoliamo la derivata della funzione f(x) = x2 2 nel punto di ascissa x 0 = 1. Applicando la definizione: 2 2 f ( 1 + h) f ( 1) (( 1 + h) 2) (( 1) 2) f ( 1) = lim ______________ = lim ________________________= h 0 h 0 h h 2 2 h( 2 + h) 1 2h + h 2 + 1 2h + h = lim _________________ = lim _ = lim _________ = 2 h 0 h 0 h 0 h h h Poiché in corrispondenza di x 0 = 1 abbiamo che y 0 = f (x 0) = 1, il valore trovato f ( 1) = 2 è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di f(x) = x2 2 nel suo punto di coordinate ( 1 ; 1). La derivabilità e la continuità FISSA I CONCETTI Q Q Derivata di una funzione in un punto x0: f(x 0 + h) f (x 0) f (x 0) = lim _______________ h h 0 Funzione derivata: y = f (x) My English lesson page 276 Se una funzione è definita e derivabile in un punto di ascissa x0, allora in quel punto è anche continua. Infatti, per definizione sappiamo che se y = f(x) è derivabile in x0, allora esiste il limite finito: f(x 0 + h) f(x 0) lim _______________ = f (x 0) h 0 h 257

Il Maraschini-Palma - volume 5
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