RELAZIONI E FUNZIONI L immagine di una funzione continua KEYWORDS K im immagine della funzione / image function I protagonisti della matematica Consideriamo una funzione continua y = f(x) in un intervallo I. L insieme di tutti i valori che la funzione assume al variare di x in I è indicato con f(I) ed è l immagine della funzione f considerata in I. Se una funzione y = f(x) è continua nell intervallo I e se x1 e x2 sono due punti di tale intervallo allora necessariamente essa assumerà tutti i valori compresi tra quelli che ha in corrispondenza di essi, cioè tutti i valori reali compresi tra f(x1) e f(x2). Questo significa che la sua immagine f(I) sarà formata da un solo tratto sull asse delle ordinate. ciò che esprime il seguente teorema. TEOREMA (di Bolzano) Se y = f(x) è una funzione definita e continua in un intervallo I e se x1 e x2 sono due punti qualsiasi appartenenti a I (con x1 0, per il teorema dell esistenza degli zeri esiste un punto x0, compreso tra x1 e x2, tale che g(x0) = 0. Ma ciò equivale a dire che f(x0) = k. y g (x 2) O x1 x2 x g (x 1) c.v.d. 164