Il Maraschini-Palma - volume 5

3 Funzioni continue y f (a) + Jf (a); f (a) f (a) O a a a+ x Ia; Infatti, essendo la funzione continua, il suo limite per x tendente ad a è proprio f(a) e il teorema della permanenza del segno del limite ci assicura l esistenza dell intorno di a con questa caratteristica. y f (b) TEOREMA (esistenza degli zeri) Se y = f(x) è una funzione continua in un intervallo chiuso [a ; b] e se f(a) e f(b) hanno segno opposto, allora esiste almeno un numero reale x0 (a ; b) tale che f(x0) = 0. a Il teorema ha un significato intuitivo: se una funzione è continua in un intervallo chiuso e ha ai suoi estremi valori di segno opposto, allora necessariamente il suo grafico dovrà intersecare l asse delle ascisse in almeno un punto. Deve quindi esistere almeno un valore dell intervallo in corrispondenza del quale la funzione ha valore 0. importante notare che il teorema non esclude che si verifichino i due casi seguenti: I. è possibile che all interno dell intervallo [a ; b] vi sia più di uno zero (in tal caso ce ne sarebbe sempre un numero dispari); II. è possibile che all interno dell intervallo [a ; b] vi sia qualche zero anche se il segno di f(a) è uguale al segno di f(b) (in tal caso ce ne sarebbe un numero pari) b O x f (a) ATTENZIONE! A Ri Ricordiamo che un numero reale x0 tale che f (x0) = 0 è chiamato zero della funzione. y y O a b x f (a)0 O a b x f (a)>0 e f (b)>0 Questo teorema è alla base dei metodi algoritmici per la ricerca degli zeri di una funzione; infatti, se una funzione è continua è possibile suddividere l intervallo all interno del quale si cercano gli zeri in tanti sottointervalli e verificare se ai loro estremi la funzione cambia di segno: se cambia di segno, allora all interno dell intervallo vi sono degli zeri. A tal proposito ti rimandiamo agli Strumenti di questa unità. FISSA I CONCETTI Q Q Permanenza del segno se f è continua in a, esiste un intorno di a in cui la funzione ha lo stesso segno di f(a). Esistenza degli zeri se f è continua in [a ; b] e i segni di f(a) e di f(b) sono opposti, allora tra a e b ci sarà uno zero della funzione cioè un numero x0 tale che f(x0) = 0. 163

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