Il Maraschini-Palma - volume 5

3 Funzioni continue Grazie al teorema di Bolzano possiamo studiare le caratteristiche dell insieme immagine di una funzione a partire dal suo insieme di definizione. esempio O Data la funzione y = f(x) e l intervallo I indicato, determina l immagine f(I) e stabilisci se tale insieme è limitato, illimitato, quali sono l estremo superiore o inferiore e gli eventuali minimo e massimo: a. y = x2_ 4x I = (0 ; 3) b. y = x I = [0 ; 2] 1 c. y = __ I = (0 ; 2] x d. y = tan x I = ( __ ; + __) 2 2 a. Il grafico della funzione è l arco di parabola in figura quindi: Q f(I) è l intervallo, aperto a destra, [ 4 ; 0); Q inf(f(I)) = min(f(I)) = 4 y Q sup(f(I)) = 0 f(I) ha un minimo ma non un massimo, perché 0 è il suo estremo superiore ma O non appartiene all intervallo f(I). 1 1 2 3 4 2 3 4 x a. _ b. La funzione y = x è definita e continua nell intervallo chiuso I = [0 ; 2] perciò: __ Q f(I) è l intervallo chiuso [0 ; 2]: y Q inf(f(I)) = min(f(I)) = 0 __ Q sup(f(I)) = max(f(I)) = 2 2 1 O 1 x 2 b. 1 c. I = (0 ; 2] è un intervallo aperto a sinistra e la funzione y = __ è definita e x continua in I, quindi: 1 Q f(I) = __ ; + [2 ) è illimitato superiormente 1 Q inf(f(I)) = min(f(I)) = __ y 2 1 1 2 O c. 1 2 x ATTENZIONE! A U funzione continua, all interno Una dell intervallo in cui è definita, non può mai avere limite infinito. Infatti, per definizione, una funzione è continua in un punto se il suo limite, per x tendente a quel punto, coincide con il valore della funzione e questo deve essere un numero reale. Una funzione continua definita in un intervallo può quindi tendere all infinito solo all avvicinarsi di x agli estremi dell intervallo in cui è definita. 165

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