i matem L eggere di matematica Shandy conclude, quindi, che i suoi sforzi di scrittura sono senza speranza: il suo ritardo non può che accumularsi. Ma, come osserverà un grande logico e matematico di questo secolo, Bertrand Russell (1872-1970), questo pessimismo è giustificato soltanto dal fatto che la vita è finita. Se, infatti, la sua vita fosse infinita, egli potrebbe completare la sua autobiografia, anche proseguendo con il ritmo attuale di un anno impiegato per narrare un giorno. Infatti, in tale ipotesi, a ogni episodio vissuto corrisponde senz altro un momento in cui verrà narrato e, viceversa, ogni momento della narrazione descrive un episodio della vita. Nell ipotesi di una vita infinita la narrazione non sarà incompleta. Dal confronto tra i due insiemi infiniti, quello della vita e quello della narrazione, ricaviamo infatti che gli elementi del primo sono tanti quanti gli elementi del secondo perché tra i due insiemi è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca. p PROVA TU 1. Due insiemi hanno la stessa cardinalità, cioè sono ugualmente numerosi, se possono essere messi in corrispondenza biunivoca. Questo criterio di confronto è evidente finché si tratta di insiemi finiti. invece meno elementare se confrontiamo insiemi infiniti. Considera l insieme N dei numeri naturali: 0 1 2 3 4 5 6 . . . . Considera il suo sottoinsieme, che indichiamo con A, formato dai numeri naturali quadrati perfetti. Come è evidente A N perché ogni numero quadrato perfetto è un numero naturale, ma non tutti i numeri naturali sono quadrati perfetti. Esamina questa corrispondenza: a ogni n N il suo quadrato (che è un elemento di A) a ogni a A il numero naturale di cui è quadrato a. La corrispondenza è biunivoca? Sì No SI No b. Perché? c. I numeri quadrati perfetti sono tanti quanti i numeri naturali? 2. L insieme D dei numeri dispari è un sottoinsieme proprio dell insieme N dei numeri naturali. Tra i due insiemi stabiliamo la corrispondenza f in questo modo: a ogni n N il numero 2n + 1 Scrivi i corrispondenti dei seguenti numeri naturali: 0 ............... 1 ............... 2 ............... 3 ............... 4 ............... a. Qual è l immagine della corrispondenza f ? b. Viceversa, stabiliamo come associare a ogni numero dispari x il numero n di cui è immagine: x 1 x _ Verifica con alcuni esempi: 2 3 ............... 5 ............... 7 ............... 1 ............... Se hai operato correttamente, hai stabilito una corrispondenza biunivoca tra l insieme dei numeri naturali e il suo sottoinsieme dei numeri dispari. 3. Stabilisci una corrispondenza biunivoca tra l insieme dei numeri naturali N e il suo sottoinsieme proprio P formato dai numeri pari: a ogni n N ............... a ogni x P ............... Anche i numeri pari sono tanti quanti i numeri naturali. 4. Come hai verificato con i precedenti esercizi, gli insiemi infiniti hanno una caratteristica particolare: possono essere messi in corrispondenza biunivoca con un proprio sottoinsieme. I loro elementi possono essere, quindi, tanti quanti quelli di una loro parte. Spiega perché questa caratteristica non può riguardare gli insiemi finiti. 67