Volume 2 Unità 7 Poligoni e aree 11 C D ESERCITATI 1 C; 2 b., c.; 3 V; 4 V H A V SINTESI ATTIVA SAPERE: 1-D; 2-A; 3-E; 4-C; 5-B; 6-G; 7-F SAPER FARE 1 In un rombo la somma delle lunghezze dei lati opposti è uguale perché sono tutti e quattro congruenti, ma gli angoli opposti non è detto che siano supplementari; l unico rombo con gli angoli opposti supplementari è il quadrato 2 Si costruiscono gli assi dei segmenti che si determinano; la loro intersezione 3 a. Un trapezio è inscrivibile in una circonferenza se e solo se gli angoli opposti sono supplementari, cioè se e solo se è un trapezio isoscele; b. un trapezio è circoscrivibile a una circonferenza se e solo se le somme dei lati opposti sono congruenti. Questa condizione è vera per tutti i quadrilateri e, quindi, in particolare, per un trapezio 4 Un poligono di 2n lati è simmetrico sia centralmente sia assialmente; se consideriamo come asse una diagonale le classi di diagonali congruenti sono n, la metà dei vertici, a cui occorre togliere la diagonale fissata 5 Il centro della circonferenza inscritta e circoscritta al triangolo equilatero è il baricentro del triangolo e quindi, dal corollario del teorema 50 discende la tesi 6 I triangoli che si formano sono a due a due congruenti perché le diagonali si incontrano nel loro punto medio; tracciata la parallela a un lato, i triangoli 2 e 3 sono equiestesi per il teorema 56. Ma 1 è scomponibile nella somma di 2 e 3 e quindi è anche equiesteso 2 3 1 3 7 Sono equiestesi per il teorema 58; non sono congruenti perché non sono scomponibili in triangoli congruenti 8 9 b c1 a1 d1 c a2 = b 21 + a 21 d2 = s 21 + d 21 c2 = c 21 + d 21 b2 = c 21 + b 21 a b1 d 10 518 a2 + c2 = b 21 + a 21 + c 21 + d 21 {d2 + b2 = a 21 + d 21 + c 21 + b 21 a b c Area 6,5 6 2,5 7,5 3 8,06 5 16,12 34 16 30 240 12 9,6 7,2 34,56 39 36 15 270 B Ts: AH AC + HC AC AB2 + BC2 AH AC AD2 per il primo teorema di Euclide HC AC DC2 per il primo teorema di Euclide AH AC + HC C AD2 + DC2 = BC2 + AB2 VERSO LA PROVA DI VERIFICA 1 Due poligoni si dicono equiscomponibili se possono essere scomposti nello stesso numero finito di poligoni tra loro congruenti 2 Due poligoni sono equiestesi se sono equiscomponibili 3 Sì, è una relazione di equivalenza (teorema 51) 4 Un quadrilatero è circoscrivibile a una circonferenza se e solo se le somme dei lati opposti sono congruenti 5 Per dimostrare il secondo teorema di Euclide, bisogna applicare il teorema di Pitagora al triangolo ABH in figura. Otteniamo: AAEDB = AAHKL + ABPQH. E A L H Q K P F G D B C D altra parte, per il primo teorema di Euclide, abbiamo anche: AAEDB = ABFGH cioè il quadrato costruito sul cateto AB è equiesteso al rettangolo BFGH avente per lati l ipotenusa e la proiezione del cateto sull ipotenusa. Inoltre, come si vede dalla figura, abbiamo: ABFGH = ABPQH + APFGQ. Confrontando le relazioni: AAEDB = AAHKL + ABPQH AAEDB = ABFGH = ABPQH + APFGQ otteniamo: AAHKL = APFGQ Le dimensioni del rettangolo PFGQ sono: PQ che è congruente alla proiezione BH; PF che, essendo PF = BF BP, è congruente alla proiezione HC dell altro cateto dell ipotenusa. Abbiamo così dimostrato il secondo teorema di Euclide, in quanto abbiamo ottenuto che l area del quadrato AHKL costruito sull altezza relativa all ipotenusa è uguale all area del rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni BH e HC dei due cateti sull ipotenusa. 6 Utilizza il teorema che garantisce l equiscomponibilità di tutti i parallelogrammi aventi congruenti la base e l altezza 7 La terna (n 1; n, n + 1), con n 2 , è una terna pitagorica se e solo se vale la relazione: (n + 1)2 = (n 1)2 + n2 Svolgendo i calcoli, otteniamo: n2 + 2n + 1 = n2 2n + 1 + n2 n2 4n = 0 n(n 4) = 0 n = 0 e n = 4 Dato che n 2, l unica soluzione accettabile è n = 4 8 Dato un trapezio ABCD prolunghiamo la base AB di un