Volume 2 di conseguenza, per il teorema di Talete, anche AD è proporzionale a 2 e D B a 3 D C E G F Unità 6 Cerchi e circonferenze ESERCITATI 1 adiacenti; 2 la loro somma è un angolo retto; 3 C SINTESI ATTIVA D A B VERSO LA PROVA DI VERIFICA 1 c. e d. 2 D 3 Il rombo è un parallelogramma avente tutti i lati congruenti, mentre il rettangolo è un parallelogramma con tutti gli angoli congruenti 4 V, V, F, F 5 Rettangolo ABCD: AC BD; Rombo ABCD: AC BD, C CA D, A A AC D, CD C, BC B BD A BA BD DB 6. I due quadrilateri vengono suddivisi dalla diagonale che ha per estremi i vertici non consecutivi dei due lati congruenti, in due triangoli rispettivamente congruenti ( I e II criterio) 7. Conseguenza del teorema dell esercizio 6 8. b., c., d. 9. h s D r C B A Le rette h e s sono parallele per ipotesi quindi gli angoli D AD r A r hA D. Da ciò deriva B, hA hA BD e, per ipotesi hA che il triangolo ABD, avendo gli angoli alla base congruenti, è isoscele ovvero AD BC. Poiché per ipotesi ABCD è un parallelogramma AD BC e AB CD risulta che D BC CD AB da cui segue la tesi 10. D E A H C O F G B Consideriamo il triangolo ABD in figura. Il segmento EF congiunge i punti medi dei lati AD e AB del triangolo ABD, quindi, per il II corollario del teorema 31 è parallelo a BD; analogamente, considerando il triangolo DBC, possiamo concludere che anche il segmento HG è parallelo a DB, da cui segue che EF è parallelo a HG. Sempre per il secondo corollario, considerando ora i triangoli ADC e ABC possiamo concludere che i segmenti EH e FG sono paralleli al segmento AC e di conseguenza sono paralleli tra loro. Il quadrilatero EFGH, avendo i lati a due a due paralleli, è un parallelogramma. Dal momento che i segmenti DB e AC sono perpendicolari perché diagonali del rombo, anche i lati del parallelogramma che, abbiamo dimostrato, sono paralleli a due a due alle diagonali del rombo, sono perpendicolari. Ne segue che il parallelogramma, avendo gli angoli retti, è un rettangolo. SAPERE: 1-D; 2-A; 3-B; 4-C; 5-E SAPER FARE 2 A seconda che l angolo al vertice sia acuto, retto, ottuso, l altezza relativa alla base è maggiore, uguale, minore della metà della base 3 0 8 quattro 9 P interno: nessuna esterna nè tangente, infinite secanti (l intero fascio di rette di centro P); P sulla circonferenza: nessuna esterna, una tangente, infinite secanti (il fascio di rette di centro P esclusa la retta tangente); P esterno: infinite esterne, due tangenti, infinite secanti (i tre insiemi disgiunti e la loro unione dà l intero fascio di rette di centro P) 10 Hanno tutte la stessa distanza dal centro 11 36° 12 Calcola le ampiezze dei vari angoli che si determinano VERSO LA VERIFICA 1 b., c., d. 2 A 3 C 4 Per il teorema 37, il cerchio contiene ogni segmento che unisce due suoi punti qualunque: il cerchio è una figura convessa 5 Se le corde si dividono a metà, gli estremi delle corde formano un quadrilatero che è un parallelogramma, in quanto le sue diagonali si incontrano nel loro punto medio. Tale punto è il centro di simmetria del parallelogramma inscritto nel cerchio. Ma il cerchio ha come unico centro di simmetria il suo centro, di conseguenza le due corde passano per il centro e sono due diametri. Se le corde sono due diametri, allora passano per il centro del cerchio e si dividono tra loro in quattro raggi, cioè si dividono esattamente a metà 6 Facendo riferimento alla figura, il triangolo ABO è isoscele, in quanto AO e OB sono due raggi. Di conseguenza, gli angoli alla base del triangolo sono congruenti. Inoltre, i triangoli AEO e OEB sono congruenti per il primo criterio di congruenza: ne segue che O e OE B sono congruenti, ma essendo gli angoli AE supplementari, risultano retti 7 Se chiamiamo E il punto di intersezione tra il diametro CD e la corda AB allora i triangoli AOE e BOE sono congruenti perché hanno l ipotenusa e un cateto congruenti 8 Sia OH la distanza del centro O della circonferenza dalla corda CD. Osserva poi che OP è la distanza del centro O della circonferenza dalla corda AD. I punti O, P, H sono i vertici di un triangolo rettangolo (retto in H). OH rappresenta un cateto di tale triangolo, mentre OP è l ipotenusa. In un triangolo rettangolo il cateto è sempre minore dell ipotenusa, quindi OH AB 9 Tracciamo la retta tangente in T comune alle due circonferenze. Ragionando sulla congruenza degli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco, si dimostra che le rette AC e BD formano angoli alterni interni congruenti e, quindi, sono parallele. Di conseguenza, il quadrilatero ADBC è un trapezio. 10 Il numero massimo di caselle attraversate dalla circonferenza è 28 (il testo parla di cerchio ma è evidente dal contesto che si intende circonferenza ) 517