Volume 2 Unità 3 Parallelismo e perpendicolarità ESERCITATI 1 D; 2 A; 3 F 7 Ip 1: r, s, t tre rette del piano. Ip 2: r//s e r s. Ts: t s 8 Ip 1: sia r una retta del piano e A, B, P tre punti tali che A, B r e P r. Ip 2: sia P r | PP r. Ip 3: AP BP . Ts: AP BP 9 Sia AF la mediana relativa al lato BC. Relativamente ai triangoli AFB e AFC possiamo notare che: A SINTESI ATTIVA SAPERE 1-E; 2-G; 3-B; 4-A; 5-H; 6-C; 7-D; 8-F SAPER FARE 1 a. alterni interni; b. coniugati interni; c. coniugati esterni 2 I triangoli AMB e MCD sono congruenti per il primo criterio, B e, per il teorema 13, CD parallelo ad AB M MA quindi CD 3 Basta scegliere una retta e considerarla come trasversale che taglia r e la sua parallela per P. Il trasporto di un angolo che essa forma con r permette di individuare, per esempio, quella retta appartenente a K che ha con r angoli alterni uguali 4 Simmetrica, come nel piano 5 No 6 t rappresenta la trasversale delle rette parallele r e s e, formando quattro angoli retti con r, ne forma altrettanti con s 7 Se si indica con P la proiezione di P su r e con S il punto di intersezione di una qualsiasi obliqua, condotta da P, con la retta r, il triangolo PP S risulta rettangolo con cateto PP e ipotenusa PS. In un triangolo rettangolo l angolo maggiore è l angolo retto: l ipotenusa, che è il lato opposto a tale angolo, risulta allora, per il teorema 21, maggiore di ogni cateto. In particolare, PS > PP . 8 a. se per assurdo ne avesse due, la loro somma sarebbe congruente a un angolo piatto, contro il teorema 16 b. Se per assurdo fossero ottusi, la loro somma sarebbe maggiore di un angolo piatto 9 Le rette parallele NP e MP dividono il triangolo equilatero in 4 triangoli equilateri congruenti: A M B B E F 1. AF è in comune 2. ABAC per ipotesi 3. BFFC per costruzione C terzo criterio di congruenza ABF AFC A AF C e, poiché BF C è piatto, AF è altezza Di conseguenza BF e bisettrice oltre a essere mediana. Lo stesso ragionamento si può fare per le mediane BE e CD. Da ciò si deduce la tesi 10 A K M H B H M 1. MA BK 2. AM MB per costruzione 3. H MA K MB perché opposti al vertice Unità N P D 4 secondo criterio di congruenza HM KM La retta nel piano cartesiano ESERCITATI C 10 Se il triangolo è rettangolo, un angolo è retto e gli altri due sono complementari, cioè minori di un angolo retto, quindi non può essere equilatero; se il triangolo fosse equilatero sarebbe anche equiangolo e ciascuno dei suoi angoli, essendo la terza parte di un angolo piatto, non può essere retto 11 A ogni angolo acuto è opposta un altezza interna al triangolo, a ogni angolo ottuso un altezza esterna al triangolo e, se l angolo è retto, l altezza coincide con uno dei lati VERSO LA VERIFICA 1 b., c.; 2 b., c., e.; 3 1 B; 2 A; 3 c., d. SINTESI ATTIVA SAPERE: 1-D; 2-A; 3-B; 4-E; 5-C; 6-F SAPER FARE 1 Per esempio: A( 4 ; 1), B( 2 ; 0), C(0 ; 1) appartengono alla funzione; non appartiene alla funzione qualsiasi altro punto che non la soddisfi 2 a. A(0 ; 1), B(0,5 ; 0); b. C(0 ; 3), D(0,5 ; 0); c. E(0 ; 0,5), F(0,17 ; 0) 2 5 3 a. m = __; b. m = ___ 3 12 4 a. y 6 4 4 Se tutti i lati sono congruenti il triangolo è equilatero; se solo due lati sono congruenti il triangolo è isoscele; se nessun lato è congruente a un altro allora il triangolo è detto scaleno 5 Se ha un angolo retto è rettangolo; se ha tutti gli angoli acuti (minori di un angolo retto) è acutangolo; se uno degli angoli è ottuso, è detto ottusangolo b e c 6 Ip 1: aO O d angoli con lati a due a due paralleli; Ip 2: r e s r rO b e semirette di origine rispettivamente O e O ; Ip 3: aO c O s s O d. Ts: r//s oppure r s 2 6 4 2 O 2 4 x 2 4 6 515