2 Funzioni 1.5 Le corrispondenze biunivoche Se su una retta fissiamo un punto origine O, una unità di misura e un verso di percorrenza, a ogni numero reale corrisponde un punto sulla retta. Viceversa, a ogni punto della retta corrisponde un numero reale. La corrispondenza tra l insieme R dei numeri reali e l insieme dei punti della retta: Q è di tipo 1 1, perché a due numeri reali diversi corrispondono punti diversi (è iniettiva); Q ha l immagine che coincide con il codominio, perché non esiste alcun punto della retta che non sia corrispondente di un numero reale (è suriettiva). Una corrispondenza con queste caratteristiche è detta biunivoca e talvolta è indicata con una freccia a doppia punta: R {insieme dei punti della retta} DEFINIZIONE Una funzione da A a B di tipo 1 1 in cui l immagine coincide con il codominio (ed è, quindi, iniettiva e suriettiva) si dice corrispondenza biunivoca. Una corrispondenza biunivoca tra due insiemi A e B è una corrispondenza univoca nei due versi, da A a B e da B a A, e tale che tutti gli elementi dei due insiemi sono da essa coinvolti. Quindi, se tra due insiemi esiste una corrispondenza biunivoca è possibile individuare ogni elemento dell uno con il corrispondente elemento dell altro. Un esempio reale è rappresentato nel palazzo in cui abiti: a ogni appartamento è associato il proprio numero sul citofono. Se la palazzina è formata da 30 appartamenti, allora la corrispondenza tra l insieme degli appartamenti e l insieme dei numeri da 1 a 30 è biunivoca. indifferente indicare l appartamento o il suo numero d ordine sul citofono per capire a chi vogliamo suonare. Di conseguenza, due insiemi finiti A e B che sono in corrispondenza biunivoca hanno lo stesso numero di elementi. Nel disegno è rappresentata schematicamente una corrispondenza biunivoca: a ogni elemento di A corrisponde uno e un un solo elemento di B e viceversa. A B Vedere se gli elementi di due insiemi possono essere messi in corrispondenza biunivoca è il criterio più semplice per stabilire se hanno lo stesso numero di elementi. Lo stesso criterio si usa per confrontare due insiemi infiniti: se tra due insiemi è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca, diciamo che gli insiemi hanno la stessa cardinalità. Si scrive: #A = #B Questo vale anche se A e B sono insiemi infiniti. Non è detto che due insiemi infiniti abbiano la stessa cardinalità. Esistono, infatti, infiniti più o meno numerosi. ATTENZIONE! A Ri Ricorda che con il simbolo # (cancelletto) indichiamo il numero degli elementi di un insieme finito (par. 2.3, unità 1 del volume 1). 47