RELAZIONI E FUNZIONI 1 b. A ogni frazione equivalente a _ corrisponde il suo numeratore. 3 una funzione dall insieme dei numeri razionali Q all insieme N dei numeri naturali: 2 3 4 _ _ _ 2 3 4 3 6 9 12 di tipo 1 1 perché ogni frazione equivalente a una data ha un diverso corrispondente. 1 _ 1 Di una funzione è, quindi, importante saper identificare il dominio e il suo insieme di definizione, ma lo è altrettanto capire quale sia il codominio e, in particolare, il suo insieme immagine che abbiamo già avuto modo di studiare (unità 1 del volume 1). Ricordiamo qui che: l insieme immagine di una funzione è il sottoinsieme del codominio formato da tutti e soli gli elementi che corrispondono almeno a un elemento dell insieme di definizione. esempio ATTENZIONE! A R+ è l insieme dei numeri reali positivi. R+ {0} è l insieme dei numeri reali non negativi. O Per ognuna delle seguenti funzioni, stabilisci se è di tipo 1 1 e se la sua immagine coincide con il codominio. f a. R R a ogni numero reale corrisponde il suo quadrato. f x x2 non è di tipo 1 1: i numeri distinti 3 e 3, per esempio (come ogni altra coppia di numeri reali opposti), hanno lo stesso quadrato: +3 (+3)2 = 9 3 ( 3)2 = 9 Il codominio è l insieme dei numeri reali R, mentre l immagine è formata dai soli numeri reali non negativi: R+ {0}. Quindi l insieme immagine non coincide con il codominio. g b. Z Z a ogni numero intero corrisponde il suo doppio aumentato di 2. g x 2x + 2 a due diversi numeri x e y corrispondono numeri diversi: la funzione è di tipo 1 1; l insieme immagine è formato dai soli numeri interi pari, cioè da un sottoinsieme proprio del codominio Z, e non coincide con esso. h c. Z Z a ogni numero intero corrisponde il suo cubo. h FISSA I CONCETTI Q Q Q Funzione 1 1 se a elementi diversi dell insieme di definizione corrispondono elementi diversi del codominio. Funzione molti 1 se esistono elementi diversi dell insieme di definizione a cui corrisponde lo stesso elemento del codominio. Immagine di una funzione: sottoinsieme del codominio formato dagli elementi corrispondenti. 46 x x3 è di tipo 1 1; l insieme immagine è formato dai soli cubi che costituiscono un sottoinsieme proprio di Z. Non coincide quindi con il codominio. i d. N {numeri naturali quadrati perfetti} a ogni numero naturale corrisponde il suo quadrato. i x x2 è di tipo 1 1 perché il dominio è N e sono quindi esclusi i numeri negativi; inoltre, insieme immagine e codominio coincidono. Se l immagine di una funzione coincide con il codominio, la funzione è detta suriettiva. Dei casi considerati nell esempio precedente solo la funzione i da N all insieme dei numeri naturali quadrati perfetti è suriettiva.