ARITMETICA E ALGEBRA 68 69 Considera tutti e soli i punti che hanno coordinate del tipo P(k ; 3k 1), essendo k un qualsiasi numero reale. [y = 3x 1] Spiega perché questi punti sono tutti e soli i punti di una retta e determinane l equazione. 1 3 Date le rette di equazioni y = 2x + 4 e y = _x + _, determina le equazioni di altre due rette a tuo piacimento 2 2 in modo che le quattro rette formino un quadrato. [ ] 70 Scrivi due sistemi formati ognuno da quattro disequazioni di primo grado in due incognite i cui insiemi delle soluzioni siano rappresentati rispettivamente da rettangoli con lati: a. paralleli agli assi del riferimento cartesiano; b. non paralleli agli assi del riferimento cartesiano. [ ] 71 Calcola l area del rombo le cui diagonali appartengono alle rette di equazioni y = 3x e x + 3y 10 = 0 e i cui vertici appartengono al perimetro del rettangolo individuato da: 5 x 7 [40] {0 y 6 72 1 Siano A, B, C, D i punti in cui la retta r di equazione y = __ x + 1 e la retta s di equazione y = 2x 2 interseca2 no rispettivamente l asse delle ascisse e l asse delle ordinate. Verifica analiticamente che il quadrilatero ottenuto è un trapezio isoscele e calcolane l area. 9 _ [area = 2 ] 73 Verifica analiticamente che il quadrilatero di vertici A( 2 ; 2), B(4 ; 0), C(3 ; 3), D(0 ; 2) è un trapezio ret[area = 15] tangolo in B e in C. Calcola poi l area di tale trapezio. 74 Nel piano cartesiano sono date le seguenti rette: r di equazione 2x + y = 7; s simmetrica di r rispetto al punto P(0 ; 2); t perpendicolare a r e passante per il punto P; u simmetrica di t rispetto al punto Q( 1 ; 4). a. Determina algebricamente le equazioni di s, t, u. b. Dimostra che le quattro rette individuano un quadrato. c. Calcola l area del quadrato. [a. s: y = 2x 3; t: y = 2 x + 2; u: y = 2 x + 7; c. 20] Nel piano cartesiano sono date le seguenti rette: r di equazione 2x + y = 9; s simmetrica di r rispetto al punto P(0 ; 4); t perpendicolare a r e passante per il punto P; u parallela a t e passante per il punto Q( 1 ; 6). a. Determina algebricamente le equazioni di s, t, u. b. Dimostra che le quattro rette individuano un rettangolo. c. Calcola l area del rettangolo. [a. s: y = 2x 1; t: y = 2 x + 4; u: y = 2 x + 2 ; c. 10] 75 76 1 _ 1 _ 1 _ 1 _ 13 _ Nel piano cartesiano sono date le seguenti rette: r di equazione 2x + y = 3; s parallela alla bisettrice del I e del III quadrante e passante per P(0 ; 4); t parallela all asse x e passante per il punto Q( 2 ; 2). Determina algebricamente le coordinate dei vertici del triangolo individuato dalle tre rette, calcolane l area. 5 _ 1 _ 11 _ 289 _ [A(2 ; 2), B( 6; 2), C( 3 ; 3 ); area = 12 ] 77 450 Della retta r di equazione x = 1 considera la retta r simmetrica rispetto all asse delle ordinate. Determina il parallelogramma che abbia due lati sulle rette r e r , un terzo lato sulla bisettrice del I e del III quadrante e il [area = 8] quarto lato passante per il punto A(1 ; 3). Calcola l area del parallelogramma.