11 Formalizzare problemi Facciamo un disegno e, supponendo risolto il problema, indichiamo anche il punto C nel quale i due treni si incontreranno. A 75 km/h 105 km/h B C 240 km Indicando con x il tempo, calcolato in ore, trascorso prima che i due treni si incontrino, abbiamo: ¯ = (velocità tempo) = 75 x AC ¯ BC = (velocità tempo) = 105 x ¯ + BC ¯ = 240 km 75x + 105x = 240 AC 180x = 240 4 x=_ 3 4 Dopo _ di ora, cioè 1 ora e 20 minuti, i due treni si incontrano. Essi saranno 3 a 100 km da A e a 140 km da B. 2.3 Problemi di geometria I problemi elementari di geometria hanno le seguenti caratteristiche: Q i dati e le incognite rappresentano grandezze geometriche (lunghezze di segmenti, lunghezze di perimetri ed estensione di superfici): essi non possono perciò essere numeri reali nulli o negativi. Occorre quindi porre il vincolo che le incognite appartengano a R+ (insieme dei numeri reali positivi); Q se una grandezza risulta doppia di un altra si preferisce indicare come incognita la metà di tale grandezza: spesso, per esempio, in una figura simmetrica, si preferisce scegliere come incognita p il semiperimetro piuttosto che il perimetro (che sarà allora dato da 2p); Q si fa spesso riferimento a termini, proprietà, formule e teoremi che si suppongono noti; Q il disegno deve essere il più generale possibile, per evitare che da disegni troppo particolari si ricavino erroneamente informazioni e relazioni non contenute nel testo del problema. Se, per esempio, il problema riguarda un triangolo qualunque, si deve evitare di disegnare un triangolo rettangolo oppure isoscele o con qualche altra particolarità; Q può essere utile tracciare segmenti o altri elementi geometrici non previsti nel testo, ma che possono aiutare a trovare altre relazioni tra dati e incognite. Per esempio, può essere conveniente tracciare segmenti perpendicolari che determinino triangoli rettangoli sui quali il teorema di Pitagora fornisce una importante relazione. esempio E O Dato un triangolo equilatero ABC, in ogni vertice costruiamo la perpendicolare a uno dei lati in modo tale che le tre perpendicolari formino un triangolo che indichiamo con DEF. Determina il perimetro del triangolo DEF, conoscendo il lato del triangolo ABC, che indichiamo con l. Poiché le tre rette sono perpendicolari ai tre lati del triangolo equilatero, esse formano tre angoli congruenti a quelli formati dai lati di ABC. Il triangolo DEF è perciò anch esso equilatero. La lunghezza del lato del triangolo ABC, indicata con l, è un dato del problema (è quindi nota). Ognuno degli angoli piatti di vertice A, B e C è tripartito in tre angoli, dei quali uno ha ampiezza 60° essendo un angolo del triangolo equilatero ABC e un altro misura 90° avendo tracciato la perpendicolare al lato. Quindi, il terzo C F A l B D 431