9 Operare con i numeri reali Come nel caso a. dell esempio precedente, è possibile che l esponente sia multiplo dell indice. In questo caso, come in una frazione, esponente e indice si semplificano e il simbolo della radice scompare. esempio O Calcola le seguenti potenze _ di radici in cui l esponente è multiplo dell indice. _ 4 8 4 8 a. ( 5) = 5 = 52 = 25 _ b. ( 8)6 = _ 5 c. ( 2 a6)15 = 83 = 512 6 3 18 (2 a ) = 8 a Possiamo calcolare anche la radice di una radice applicando la proprietà della potenza di una potenza. Per esempio, calcoliamo: _ _ 4 3 3 Riscriviamo la radice come potenza a esponente razionale: _1_ _1_ 4 _ _ 4 3 _1_ _1_ 3 = (3 3) = 33 4 1 ___ = 3 12 Scriviamo ora_la potenza ottenuta come radice, abbiamo: _ _ 4 3 3 = 12 3 In generale, quindi, la radice di una radice si ottiene moltiplicando gli indici e lasciando invariato il radicando: _ _ m n a = m n _ a esempio O Calcola le seguenti radici di radici scrivendole sotto un unico simbolo di radice. 3 _ _ a. 27 3 _ _ b. a3 _ _ _ c. _ _1_ _ _1_ a3 6 _3_ _1_ _1_ _ = 27 = (27)6 = (33)6 = 3 6 = 3 2 = 3 6 6 _3_ _1_ = a3 = ( ) = a 6 = a 2 = a 4 16 = _ 16 _ 1 ___ FISSA I CONCETTI _ 4 ___ Q _1_ _ 4 16 = 24 = (24)16 = 2 16 = 2 4 = 2 16 Se l esponente è multiplo dell indice questi si semplificano e il simbolo della radice scompare. _ _ Q _ m n n a = m a 3.4 L addizione di radici Non possiamo eseguire addizioni e sottrazioni di radici, perché non esistono proprietà delle potenze che consentano tali operazioni. Per esempio, la somma o la differenza di due radici dello stesso indice, quale: _ _ 2 + 3 non può essere riscritta come una sola radice perché: _1_ 2 _1_ 2 _1_ 2 + 3 (2 + 3)2 Neppure la somma o la differenza di due radici che hanno lo stesso radicando può essere riscritta come unica radice. Per esempio, l espressione: _ _ 3 3 3 non può essere semplificata e la sottrazione si può eseguire soltanto dopo aver calcolato le due radici. 355