9 Operare con i numeri reali 3 Il calcolo con le radici Esercizi da pag. 370 3.1 La moltiplicazione e la divisione di radici Radici con stesso indice Applicando le proprietà delle potenze, possiamo eseguire moltiplicazioni di radici che hanno lo stesso indice. _ _ Per esempio, calcoliamo a b. Trasformando le radici in potenze a esponente razionale e applicando la proprietà delle potenze aventi lo stesso esponente, otteniamo: _1_ _ _ _1_ _1_ _ a b = a 2 b 2 = (ab)2 = ab esempio O Calcola i seguenti prodotti di radici che hanno lo stesso indice. Possiamo trasformare le radici in potenze a esponente razionale e applicare le proprietà delle potenze. _ _ _ _ _1_ _1_ _1_ _1_ _1_ _1_ _ _1_ _ = 4 3 2 3 = (4 2)3 = 8 3 = 8 = 2 3 3 b. 4 2 _ _1_ = 5 2 7 2 = (5 7)2 = 35 2 = 35 a. 5 7 _ _1_ 3 _4_ _1_ _3_ _2_ _1_ _6_ _4_ _2_ _ 3 6 6 c. a4 b3 a2 b = (a4 b3)6 (a2 b)6 = a 6 b 6 a 6 b 6 = a 6 b 6 = a b 3 = a b2 In generale, quindi, il prodotto di radici con lo stesso indice è una radice avente per indice lo stesso indice e per radicando il prodotto dei radicandi, in simboli: _ _ _ n n n a b = ab Possiamo anche eseguire divisioni di radici che hanno lo stesso indice, applicando la proprietà del quoziente di due potenze che hanno lo stesso esponente. _ a _ con b 0. Per esempio, calcoliamo _ b Trasformando in potenze a esponente razionale e applicando le proprietà delle potenze, otteniamo: _1_ _ _ _1_ 2 a __ a 2 _ _=a = _ = 1 ( _ _ b) b 2 _ab b esempio O Calcola le seguenti divisioni di radici che hanno lo stesso indice. _ _ _1_ _1_ _1_ _1_ _1_ _1_ _1_ _ 3 3 3 a. 6 : 2 = 6 3 : 2 3 = (6 : 2)3 = 3 3 = 3 _ _ 2 2 2 _ b. 3 : 5 = 3 : 5 = (3 : 5) = _ c. _ 3 1 _ : 4 = 2 3 _1_ _53 _1_ _1_ _1_ 3 1 3 3 1 1 3 _ :4 = _:4 = _ = (2) (2 ) (8) _ _81 = _21 3 351