ARITMETICA E ALGEBRA FISSA I CONCETTI _1_ Q Q _ n a = a con a 0 per ogni a R, n e per ogni n N0 Potenza a esponente razionale di un numero reale positivo a: _m_ _ n ATTENZIONE! A Q _2_ 3 3 _ 2 _ _3_ 4 m _ a. a = a = ( a) 3 2 b. ( ) n _ n 3 = (_) m _3_ 2 1 c. (_) n 4 _ = n3 _ a n = am = ( a)m n O Riscrivi le seguenti potenze utilizzando il simbolo di radice. Q e successivamente Qui sottintendiamo che le lettere rappresentino numeri reali positivi. 2.2 Semplificare radici Quando il radicando è positivo, possiamo trasformare la radice in potenza a esponente razionale ed eseguire i calcoli, ricordando le proprietà delle potenze. Per le potenze a esponente razionale valgono, infatti, le proprietà stabilite per le potenze a esponente intero. Dopo aver così semplificato l espressione, trasformiamo di nuovo la potenza ottenuta in radice. _ Per esempio, semplifichiamo l espressione 25 a4 b riscrivendola come potenza a esponente razionale: _ _1_ 25 a4 b = (52 a4 b)2 Applichiamo la proprietà della potenza di una potenza e semplifichiamo: _2_ _1_ _4_ _1_ _1_ 2 2 2 2 2 2 4 (5 a b)2 = 5 a b = 5 a b L espressione non può essere ulteriormente semplificata; trasformiamo la potenza a esponente razionale ottenuta in radice. Abbiamo: _ _ 4 2 25 a b = 5 a b Come vedremo più avanti, una espressione moltiplicativa di questo tipo, formata da un coefficiente (nel nostro caso 5a2) e da una radice n-esima (nel nostro caso la radice quadrata di b) è detta radicale. esempi ATTENZIONE! A N Naturalmente, potrebbe _ anche _ 4 4 essere 25 = ( 5)2 , ma poiché la base di una potenza a esponente razionale è un numero reale positivo, escludiamo questa possibilità. Q Se l indice della radice e l esponente del radicando hanno un divisore comune diverso da 1, allora è possibile semplificare il radicale dividendo direttamente indice e esponente per il loro MCD, senza trasformarli in potenze a esponente razionale. Q O Semplifica, dopo aver riscritto le radici come potenze a esponente razionale. _ 4 a. 25 _ _2_ _ _6_ _1_ _ 4 = 52 = 5 4 = 5 2 = 5 _ 3 3 b. 729 = 36 = 3 3 = 32 = 9 _ _ c. 1 _ 4 4 = 2 (2) 1 _ 4 _ _2_ _1_ 1 4 1 2 = _ = _ = (2) _2_ _1_ (2) _2_ _1_ _ 2 1 _ _1_ _1_ _ 4 d. a2 b2 = (a2 b2)4 = a 4 b 4 = a 2 b 2 = (ab)2 = ab _ 6 e. c4 _4_ _2_ _ = c 6 = c 3 = c2 3 O Semplifica, dopo aver riscritto le radici come potenze a esponente razionale. 9 _ _9_ _3_ _3_ _1_ _1_ _1_ _ 3 a. a3 b9 c3 = (a3 b9 c3)9 = a 9 b 9 c 9 = a 3 b1 c 3 = b ac _ _1_ _3_ _6_ _1_ _1_ _ 3 3 b. 27 a6 b = (33 a6 b)3 = 3 3 a 3 b 3 = 3 a2 b 3 = 3 a2 b _ Approfondisci Perché si considera la base di una potenza non negativa 350 10 _8_ _2_ ___ 2 2 2 _1_ c. 0,01 a10 x8 = (10 2 a10 x8)2 = 10 3 ____________ _1_ a x = 10 1 a5 x4 = 0,1 a5 x4 _3_ _6_ _2_ _3_ _2_ _ d. 0,125 a6 b2 c3 = (0,53 a6 b2 c3)3 = 0,5 3 a 3 b 3 c 3 = 0,5 a2 b 3 c = 0,5 a2 c b2 3