9 Operare con i numeri reali O Calcola il risultato di ciascuna delle seguenti sequenze di operazioni nell insieme R. 2 elevato a 5 elevato a 1/5 2 2 elevato a 4 elevato a 1/2 4 2 elevato a 1/4 elevato a 2 2 10 elevato a 3 elevato a 1/3 10 10 elevato a 6 elevato a 1/3 100 10 elevato a 1/2 elevato a 6 1000 I protagonisti della matematica __ _1_ Abbiamo dunque dato significato alla scrittura a n , in cui a è un numero reale non negativo e n un numero intero positivo. Consideriamo ora un altro numero intero positivo m; possiamo scrivere: _m_ _1_ mn n n m a = (a ) = a ma allora: m __ _ _m_ _ oppure: 1 _ m _ n a = (a ) = ( a)m n n La notazione esponenziale moderna dovuta al matematico e filosofo René Descartes (1596-1650) venne estesa agli esponenti negativi e frazionari nel 1656 dal matematico inglese John Wallis (1616-1703) nella sua opera Arithmetica Infinitorum. _ a n = am = ( a)m n n così definita la potenza a esponente razionale positivo di ogni numero reale non negativo. Per esempio: _2_ _ 8 3 = ( 8)2 = 22 = 4 3 _3_ _ 100 2 = ( 100)3 = 103 = 1000 Possiamo estendere la definizione nel caso di esponente negativo in questo modo: a _m_ n 1 = ___ m __ an tuttavia, affinché questa definizione abbia significato, dobbiamo escludere che a sia uguale a 0. Possiamo così definire la potenza a esponente razionale di ogni numero reale positivo a. DEFINIZIONE Si dice potenza a esponente razionale di un numero reale positivo a l espressione: m __ _ _ a n = am = ( a)m con m intero e n intero positivo diverso da 0. n n esempi APPROFONDIMENTO A P estendere la definizione di Per potenza da potenza a esponente naturale introdotta a partire dalla moltiplicazione a quella di potenza a esponente intero abbiamo posto una restrizione sulla base: se la base è 0, l esponente può essere soltanto positivo. Infatti 0n con n numero positivo è sempre uguale a 0, mentre 00 non ha significato. Né ha significato 0 n 1 1 perché _n è uguale a _ e sappiamo 0 0 che una frazione non può avere 0 come denominatore. In generale, quindi, estendendo la nozione di potenza fino a prevedere come esponente un numero razionale qualsiasi, dobbiamo limitarci a considerare come base un numero reale positivo. O Riscrivi le radici come potenze a esponente razionale. _ _1_ 5 a. 35 = 35 5 _ _ _ _3_ 4 b. a3 = a 4 _4_ 3 c. 24 = 2 3 d. _32 5 KEYWORDS K _1_ 2 5 = (_) 3 e esponente razionale / rational exponent 349