ARITMETICA E ALGEBRA Esercizi da pag. 368 2 Le potenze a esponente razionale 2.1 Esprimere una radice come potenza Consideriamo un qualsiasi numero reale a positivo. Sappiamo che di esso possiamo considerare sia le radici _ di indice pari sia le radici di indice dispari. Sappiamo inoltre che ( a)2 = a _ Vogliamo esprimere a come potenza di a: vogliamo cioè scriverla nella forma perciò trovare l esponente x che rende vera la seguente equazione: ax. Dobbiamo _ x a = a Eleviamo al quadrato i due termini dell uguaglianza e applichiamo le proprietà delle potenze:_ (ax)2 = ( a)2 = a a2x = a Se due potenze della stessa base positiva sono uguali, allora sono uguali i loro esponenti; essi sono, rispettivamente, 2x e 1. Deve perciò essere: 1 x=_ 2 2x = 1 Quindi: 1 _ _ a 2 = a qualunque sia il numero a reale positivo. Da questa relazione ricaviamo inoltre: _ _1_ _2_ a2 = (a2)2 = a 2 = a Generalizzando, se a è un numero reale positivo e n un numero intero positivo, stabiliamo che: 1 __ _ an = a n Questa relazione è valida anche per a = 0. Poniamo: _1_ ATTENZIONE! A D questo punto in poi Da considereremo sempre che nella _ n scrittura a sia almeno a 0. Più avanti porremo la condizione più restrittiva a > 0. Poiché ci limitiamo al caso di basi non negative, le potenze a esponente razionale non sono mai negative. _ 0n = 0 = 0 Quindi, eseguire la radice n-esima di un numero reale non negativo equivale a 1 elevare il numero a _. n n _1_ _ _ esempi O Calcola. _1_ _ a. 16 2 = 16 = 4 _ _1_ 4 2 _ = b. ( ) 9 27 3 c. (_) 8 4 _ 2 _ = 9 _ _1_ 348 _1_ Per esempio 4 2 significa 4 e quindi: 4 2 = 4 = 2 = 3 27 _ 3 = _ 2 8 3 _1_ d. 1000 3 _ 3 = 1000 = 10 _ _1_ 1 4 _ e. ( ) 16 _1_ f. 1 5 = 1 1 _ =_ 16 4 _ 5 = 1 = 1 2