9 Operare con i numeri reali Inoltre, la radice cubica di un numero ha lo stesso segno del numero. APPROFONDIMENTO A _ L radice quadrata a si chiama La così perché esprime il lato di un quadrato di area a._ 3 Q La radice cubica v si chiama così perché esprime il lato di un cubo di volume v. Q esempi O Determina quali sono i numeri che elevati alla terza danno: a. 8 2, perché ( 2)3 = 8 b. 27 3, perché 33 = 27 c. 1 1, perché 13 = 1 d. 0 0, perché 03 = 0 ATTENZIONE! A O Calcola le seguenti radici cubiche. _ 3 a. 8 = 2, perché 23 = 8 _ 3 b. 27 = 3, perché ( 3)3 = 27 _ 3 c. 125 = 5, perché 53 = 125 _ 3 d. 10 In questo caso il risultato è un numero irrazionale. Con la calcola_ 3 trice possiamo approssimare 10 2,15443469 A Anche per la radice cubica di un numero non cubo perfetto, possiamo capire tra quali interi è compreso, limitandolo tra due cubi consecutivi: 8 < 10_< 27 quindi 3 2 < 10 < 3 FISSA I CONCETTI Per ogni a_ R esiste la radice 3 a. cubica _ 3 Q a è positiva, negativa o nulla a seconda che a sia positivo, negativo o nullo. Q 1.4 Le radici ennesime Possiamo estendere le precedenti definizioni e considerare le radici quarte, quinte, ..., ennesime (n-esime) di un numero reale. DEFINIZIONE Le radici n-esime di un numero reale a sono tutti quei numeri che, elevati a n, danno a. n N0 è detto indice della radice e il numero _ a è detto radicando. n In simboli la radice n-esima è indicata con a. KEYWORDS K in indice / index radicando / radicand Le radici n-esime di un numero sono definite a partire dall operazione di elevamento a potenza, ma, come già è emerso dal caso delle radici quadrate e cubiche, molto diversa è la situazione a seconda che n sia pari o dispari. Occorre perciò distinguere due casi: n _ se l indice n è pari: a è definita _ soltanto se a 0 e indica la radice nn esima assoluta, quindi anche a 0; _ n Q se l indice n è dispari: a è definita per ogni valore reale di a; è positiva, negativa o nulla a seconda che a sia positivo, negativo o nullo. in_ n dicata con a. Q esempio O Calcola, se possibile, le seguenti radici. _ 6 a. 64 2, perché 26 = 64 _ 4 b. 81 3, perché 34 = 81 _ 5 c. 32 2, perché 25 = 32 _ 4 d. 81 la radice non esiste in R, perché nessun numero reale elevato alla quarta dà come risultato un numero negativo _ 5 e. _ 243 3, perché ( 3)5 = 243 4 f. 1000 1000, _non è la potenza quarta di alcun numero naturale. 4 1000 è quindi un numero _ irrazionale e si può approssimare 4 con la calcolatrice: 1000 5,623413252 FISSA I CONCETTI _ Nella scrittura a il radicando è a, l indice è n. Q Le radici n-esime di un numero reale a sono tutti quei numeri che, _ n elevati a n danno a: ( a)n = a. Q Se _ n è pari e a R: n a_ è definita se a 0; n a indica il valore assoluto della radice. Q Se _ n è dispari: n a_ è sempre definita; n a indica un solo valore reale, positivo, negativo o nullo a seconda che a sia un numero positivo, negativo o nullo. Q n 347