ARITMETICA E ALGEBRA Per eliminare la x dalla seconda equazione moltiplichiamo la prima per 2 e la sommiamo alla seconda (avremmo potuto anche dividere per 2 la seconda, ma ciò avrebbe complicato i calcoli) 2x 4y + 6z = 0 x 2y + 3z = 0 x 2y + 3z = 0 2x + y z = 1 4x y + 2z = 4 0x 3y + 5z = 1 3y + 5z = 1 4x y + 2z = 4 4x y + 2z = 4 Per eliminare la x anche dalla terza equazione moltiplichiamo la prima per 4 e la sommiamo alla terza: 4x 8y + 12z = 0 x 2y + 3z = 0 x 2y + 3z = 0 3y + 5z = 1 3y + 5z = 1 3y + 5z = 1 9y + 14z = 4 0x 9y + 14z = 4 4x y + 2z = 4 Rimane da eliminare la y nella terza equazione e per far ciò moltiplichiamo la seconda per 3 e le sottraiamo: x 2y + 3z = 0 9y + 15z = 3 x 2y + 3z = 0 x 2y + 3z = 0 3y + 5z = 1 z = 1 3y + 5z = 1 0y + 1z = 1 9y + 14z = 4 L ultima equazione ci dice che z = 1; sostituendo questo valore nelle precedenti otteniamo: x 2y + 3 = 0 x 2y + 3 = 0 x 4 + 3 = 0 x = 1 3y + 5 = 1 3y + 5 = 1 y = 2 y = 2 z = 1 z = 1 z = 1 z = 1 Questo è anche detto metodo di eliminazione di Gauss. 2x 3y + 4z = 22 149 4x + 5y 3z = 66 x + z = 11 3x + 3y 5z = 10 [x = 14; y = 4; z = 6] 150 2 2 x _1 y + _2 z = 1 3 3 [x = 0; y = 55; z = 35] x y + z = 20 x + 2y + 3z = 1 3x + y 2z = 6 _3 x + _1 y z = 4 151 4x + y 3z = 50 152 4x + 5y + 6z = 1 [impossibile] [x = 1; y = 1; z = 0] 7x + 8y + 8z = 1 x y + z = 2 153 2x y + 3z = 1 x + 2z = 1 [impossibile] esercizio svolto Determina a, b, c nell equazione ax + by + cz = 1, di incognite x, y, z, sapendo che essa ammette come soluzioni: ( 2 ; 1 ; 1), (1 ; 0 ; 3), (3 ; 1 ; 1). Possiamo sostituire ognuna delle tre terne di soluzioni alle incognite x, y, z. Otteniamo un sistema di tre equazioni nelle tre incognite a, b e c: 2a + b + c = 1 a + 3c = 1 {3a b + c = 1 L esercizio è così ricondotto alla risoluzione di un sistema di tre equazioni in tre incognite, la cui soluzione è: a = 4 b = 10 {c = 1 34