8 Costruire e trasformare esempio O Applicando le formule della traslazione, trova il corrispondente del punto P( 2 ; 7) nella traslazione di vettore v = (0 ; 3). Scrivi, quindi, le formule della traslazione di vettore w che fa corrispondere a quest ultimo punto (P ) l origine. y P( 2 ; 7) Scriviamo le formule della traslazione e sostituendo a x e y le coordinate di P, otteniamo P ( 2 ; 4). x = 2 x = x x = 2 {y = y 3 {y = 7 3 { y = 4 P ( 2 ; 4) 0 = 2 + a 4 1 Dobbiamo poi considerare la traslazione di vettore w = (a ; b) che al punto P ( 2 ; 4) associa l origine (0 ; 0). Quindi, dobbiamo avere: {0 = 4 + b 7 2 O 1 x {a = 2 b = 4 Le formule della traslazione di vettore w = (+2 ; 4) sono quindi: x = x + 2 {y = y 4 Questa traslazione fa corrispondere a P l origine O. FISSA I CONCETTI Traslazione di vettore v = (a ; b): x = x + a {y = y + b 3.6 L omotetia di centro l origine e rapporto k APPROFONDIMENTO A Le formule che permettono, per una data omotetia, di determinare le coordinate dei punti corrispondenti sono particolarmente semplici se l omotetia ha come centro il punto O, origine degli assi. In tale caso, infatti, se k è il rapporto di omotetia, con k R0, a ogni punto P(x ; y) del piano cartesiano corrisponde il punto P (kx ; ky): x = kx {y = ky esempio 1 1 _ O Dato il triangolo di vertici A(0 ; _), B(1,5 ; 1), C(_ ; 2), determina le 2 3 coordinate dei vertici corrispondenti nella omotetia di centro l origine e rapporto k = 3. Per k = 3 le formule che descrivono l omotetia sono: x = 3x {y = 3y Sostituendo a x e a y le coordinate di ciascun punto, otteniamo i valori per x e y . I punti corrispondenti sono quindi: y C In un omotetia di rapporto k (k > 0) a un segmento di lunghezza l corrisponde un segmento di lunghezza kl. Pertanto a un quadrato di lato l e area l 2 corrisponde un quadrato di lato kl e area k 2l 2. Quindi se k è il rapporto di omotetia, allora k 2 è il rapporto tra le aree di due figure omotetiche. Così, se in un ingrandimento si raddoppia il lato di un quadrato, la sua area risulta 4 volte l area del quadrato di partenza. l 2l A = l2 A = 4l 2 A C 1 A O x 1 B FISSA I CONCETTI _ 3 A (0 ; _), B (4,5 ; 3), C (1 ; 3 2) 2 B Omotetia di centro l origine e rapporto k R0: x = kx {y = ky 323