8 Costruire e trasformare Se, quindi, pensiamo di riferire le coordinate di ogni punto al vecchio riferimento, possiamo allora considerare: Q la coppia ordinata di coordinate (x ; y) del punto, prima della trasformazione; Q la coppia ordinata di coordinate (x ; y ) del suo corrispondente, dopo la trasformazione (sempre rispetto allo stesso sistema di riferimento). Ogni trasformazione geometrica che considereremo potrà essere descritta da formule che permettono di calcolare, per un qualunque punto del piano, le coordinate del nuovo punto (x ; y ) a partire da quelle del vecchio punto (x ; y). In generale, le formule per trovare le coordinate del corrispondente di un punto, dopo che si è operata una trasformazione del piano, non sono semplici. Pertanto, limiteremo il nostro studio a casi particolarmente significativi. FISSA I CONCETTI Al punto di coordinate (x ; y ) corrisponde, dopo la trasformazione geometrica, il punto di coordinate (x ; y ). 3.2 La simmetria rispetto agli assi cartesiani Asse delle ascisse Nella simmetria rispetto all asse x, a ogni punto P corrisponde il punto P che ha la stessa ascissa e l ordinata uguale in valore assoluto, ma di segno opposto. Quindi: x = x {y = y P y O y x P esempio O Applicando le formule, determina i corrispondenti dei punti A(0 ; 1), 1 B( 2 ; 3), C(_ ; 0) nella simmetria rispetto all asse delle ascisse. 2 x = x Poiché le formule della simmetria rispetto all asse delle ascisse sono { y = y sostituendo a x e y le coordinate di A, otteniamo: x = 0 x = x {y = y {y = ( 1) A (0 ; 1) Analogamente si procede per gli altri punti. x = x x = 2 Punto B: { { B ( 2 ; 3) y = y y = ( 3) 1 x = _ x = x 1 Punto C: { C (_ ; 0) 2 y = y 2 {y = (0) Quest ultimo punto, poiché si trova sull asse delle ascisse, asse di simmetria 1 della trasformazione, coincide con C: il punto (_ ; 0) è un punto fisso nella 2 trasformazione. 319