GEOMETRIA 1.15 Tracciare la circonferenza inscritta a un triangolo dato ATTENZIONE! A Q Questa possibilità di individuare il centro della circonferenza inscritta discende dalla proprietà della bisettrice (in particolare dal teorema 39). Il centro della circonferenza inscritta in un triangolo è il punto di intersezione delle tre bisettrici degli angoli del triangolo. Disegnato il triangolo ABC, basta tracciare, con la costruzione due bisettrici (paragrafo 1.6), per esempio quelle relative agli angoli in A e in C. Queste si incontrano in un punto O. Ora il problema si riduce a quello esaminato nel paragrafo 1.3 perché dobbiamo tracciare da O la perpendicolare al segmento AC cui O non appartiene. C O A B APPROFONDIMENTO A L quattro costruzioni precedenti utilizzano tutte in modo costruttivo la relazione di perpendicolarità Le che lega il raggio di una circonferenza alla tangente alla circonferenza nel suo estremo. Esercizi da pag. 333 2 Costruire poligoni regolari Quando un poligono ha tutti i lati e tutti gli angoli ai vertici di uguale misura viene chiamato poligono regolare. Alcuni poligoni regolari che abbiamo già incontrato sono il triangolo equilatero, il quadrato, il pentagono regolare, l esagono regolare e infiniti altri con numero di lati maggiore. Come già accennato nell unità 7 non possiamo costruire con riga e compasso tutti i poligoni regolari, ma tutti e soli i poligoni regolari il cui numero n di lati, scomposto in fattori primi, contenga il fattore 2 o soltanto fattori primi 2m + 1 (con m N). Quindi: 1 Q triangolo equilatero: n = 3 = 2 + 1 Q quadrato: n = 4 = 2 2 2 Q pentagono regolare: n = 5 = 2 + 1 Q esagono regolare: n = 6 = 2 3 Q ottagono regolare: n = 8 = 2 2 2 Questo risultato è contenuto in un teorema sui poligoni costruibili dovuto a due matematici, uno tedesco e uno francese, Carl Friedrich Gauss e Pierre Wantzel. Il teorema, dimostrato tra la fine del XVIII secolo e l inizio del successivo, è detto 316