8 Costruire e trasformare 1.13 Tracciare la circonferenza di raggio r, tangente a un dato segmento AB in un suo estremo Si tratta del problema inverso a quello precedente. Questa volta è dato un segmento e vogliamo costruire la circonferenza, di raggio dato, a esso tangente in un suo estremo. La costruzione vista al paragrafo 1.4 permette di tracciare la perpendicolare al segmento AB in un suo estremo, per esempio B. Centriamo ora il compasso in B e, con apertura uguale alla lunghezza r del raggio, tagliamo la perpendicolare nel punto O che risulterà, quindi, a distanza r da AB. Centriamo in O e, sempre con apertura r, tracciamo la circonferenza. r O B A Disegniamo ora, nella medesima figura, allo stesso modo, una circonferenza con diverso raggio. Osserviamo che data una circonferenza e un suo punto P, la retta a essa tangente in P è unica. Invece, data una retta e un suo punto P, le circonferenze a essa tangenti in P sono infinite e, quindi, di vario raggio, ma i loro centri appartengono sempre alla sua perpendicolare nel punto P. 1.14 Tracciare le rette tangenti a una circonferenza da un punto P a essa esterno Disegniamo la circonferenza e segniamo il punto P a essa esterno. Congiungiamo P con il centro O della circonferenza e tracciamo l asse del segmento OP, secondo la costruzione studiata al paragrafo 1.1. A P O M r O C P r ATTENZIONE! A L costruzione utilizza il teorema La della perpendicolarità tra raggio e tangente alla circonferenza nel suo estremo (corollario del teorema 44) e il teorema che stabilisce che un triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo (corollario del teorema 46). B L asse interseca OP nel punto M. Con centro in M tracciamo la circonferenza di raggio MO che interseca la circonferenza data nei due punti A e B. Tracciamo le rette passanti rispettivamente per PA e PB. Queste sono le due tangenti per P alla circonferenza data. Infatti, i due triangoli PAO e PBO sono rettangoli, in quanto inscritti in una semicirconferenza; inoltre OA e OB sono raggi della circonferenza data e quindi PA e PB sono entrambe perpendicolari al rispettivo raggio nel suo estremo. A P O M B 315