8 Costruire e trasformare La costruzione sfrutta in modo essenziale la definizione di asse di un segmento. Infatti, una delle circonferenze è l insieme di tutti e soli i punti che hanno uguale distanza da A (circonferenza di centro A), mentre l altra è l insieme di quelli che hanno uguale distanza da B (circonferenza di centro B). Le due circonferenze hanno uguale raggio. Quindi P ha uguale distanza da A e da B e lo stesso vale per Q. FISSA I CONCETTI Asse di un segmento: è la retta a esso perpendicolare passante per il suo punto medio. 1.2 Individuare il punto medio di un segmento La costruzione ricalca quella precedente per la costruzione dell asse di un segmento infatti, essendo, l asse, la perpendicolare al segmento nel suo punto medio, abbiamo anche ottenuto un modo per individuare il punto medio del segmento dato come punto d intersezione tra segmento e asse. 1.3 Tracciare la perpendicolare t a una retta r da un punto esterno A Centriamo il compasso nel punto A e tracciamo un arco di circonferenza con un apertura tale da intersecare la retta r in due punti P e Q. Apriamo il compasso con un apertura qualsiasi e, con tale apertura e rispettivi centri P e Q, tracciamo due archi: questi si incontrano in un punto B. La retta t che passa per A e B è perpendicolare alla retta data. Infatti la retta t risulta essere l asse del segmento PQ, che appartiene alla retta data. r A P t Q B 1.4 Tracciare la perpendicolare s a un segmento AB in un suo estremo Scegliamo, per esempio, l estremo A del segmento AB in figura a lato. Prolunghiamo il segmento AB dalla parte di A per un tratto. Apriamo il compasso con un apertura qualsiasi minore di AB e, con centro in A, tracciamo una semicirconferenza. Questa incontra il segmento AB in un punto P e il suo prolungamento in un punto Q. Ora apriamo il compasso con un apertura maggiore di AP e, con rispettivi centri prima in P e poi in Q, tracciamo due archi, che si incontrano in due punti C e D. La retta s per C e D passa per A ed è perpendicolare al segmento AB. Infatti la retta s è l asse del segmento PQ; quindi, è a esso perpendicolare e poiché A è il punto medio del segmento PQ, la retta S passa per A. s Q A P B C 1.5 Costruire il quadrato di lato il segmento dato AB La costruzione è una diretta applicazione della precedente. Con la costruzione vista nel paragrafo precedente disegniamo la perpendicolare ad AB in ciascuno dei suoi estremi. Centrando il compasso in ciascuno dei due estremi, riportiamo sulle rispettive perpendicolari la lunghezza di AB e individuiamo i punti C e D. Il quadrilatero così costruito è un parallelogramma che è sia rombo (lati con- D D A C B 311