GEOMETRIA Esercizi da pag. 332 1 Le costruzioni con riga e compasso APPROFONDIMENTO A Ti proponiamo due esempi per comprendere l importanza attribuita a Euclide da tutti i grandi dei secoli successivi. Dante Alighieri lo cita nella Divina Commedia, incontrandolo, durante il suo viaggio poetico nell aldilà, nel Limbo: «vidi l maestro di color che sanno seder tra filosofica famiglia. Tutti lo mirano, tutti onor li fanno: [ ] Euclide geomètra e Tolomeo, Ipòcrate, Avicenna e Galieno, Averois, che l gran commento feo. [Inferno Canto V; 131-133 e 142-144] Raffaello Sanzio ritrae Euclide nell affresco La Scuola di Atene nelle Stanze Vaticane, dove dà una rappresentazione corale della sapienza e dei grandi del passato. KEYWORDS K ri / ruler riga compasso / compasses «Disegnare un quadrato è un problema di costruzione geometrica. Sembra facile: se si ha a disposizione un foglio di carta a quadretti, basta contare tanti quadretti in orizzontale quanti in verticale, ma, se si lavora su un foglio bianco, il problema non è più così semplice: come essere sicuri che le linee siano tra loro perpendicolari e che i lati abbiano tutti la stessa lunghezza? I problemi di costruzione geometrica sono problemi classici della matematica sin dall antichità. Risalgono al VI secolo a.C. e ne troviamo una sistemazione tre secoli più tardi, attorno al 300 a.C., nell opera del grande matematico greco Euclide che diede alla geometria quella organizzazione rigorosa rimasta fondamentale fino ai giorni nostri. Questi problemi richiedono di disegnare, cioè costruire, una figura con determinate caratteristiche, utilizzando due strumenti: la riga e il compasso. Nel suo trattato, dal titolo Elementi, che costituisce anche ai nostri giorni il testo fondamentale del sapere geometrico, Euclide indica molte costruzioni di linee e figure aventi proprietà particolari, eseguite solo con riga e compasso, ma, di questi due strumenti non dà una descrizione in termini meccanici che ne spieghi il loro utilizzo; li introduce invece come strumenti teorici che permettono, partendo da almeno due punti, di eseguire alcune operazioni di base, consentite dagli assiomi stabiliti per caratterizzare il piano. In particolare: Q disegnare la retta passante per due punti fissati; Q trovare l eventuale punto di intersezione tra due rette; Q disegnare la circonferenza con centro in un punto O e passante per un altro punto P distinto da O; Q trovare gli eventuali punti d intersezione tra una circonferenza e una retta; Q trovare gli eventuali punti d intersezione tra due circonferenze. In termini ideali, dunque, la riga euclidea è priva di unità di misura, è illimitata e perfettamente rettilinea così come è potenzialmente illimitata l apertura del compasso. 1.1 Tracciare l asse di un segmento AB ATTENZIONE! A L proprietà dell asse sono Le dimostrate nel teorema 38. Prima di costruirlo è opportuno ricordare che l asse di un segmento è il luogo dei punti del piano equidistanti dagli estremi del segmento (vedi unità 6). Iniziamo da questa costruzione poiché è fondamentale per le prossime. Per disegnarlo apriamo il compasso di un apertura qualsiasi, purché maggiore della metà di AB (questo lo si può stabilire a occhio) e, con rispettivo centro in ciascuno dei due estremi, tracciamo gli archi di circonferenza (fig. a.). Questi si intersecano in due punti P e Q. Con la riga tracciamo la retta passante per essi. La retta è l asse del segmento (fig. b.). P P B A a. 310 Q B A b. Q