7 15 Poligoni e aree ESERCIZI Completa la seguente tabella scrivendo Sì se il poligono è inscrivibile o circoscrivibile a una circonferenza oppure No in caso contrario. Poligono Inscrivibile Circoscrivibile Triangolo Quadrato Rettangolo Rombo Parallelogramma DIMOSTRA i seguenti teoremi. [ ] Dato il triangolo equilatero ABC inscritto nella circonferenza di centro O, CH è un altezza del triangolo e D è il punto in cui il prolungamento dell altezza interseca la circonferenza. Il triangolo AOD è equilatero e il quadrilatero ADBO è un rombo. 24 Se un parallelogramma è circoscritto a una circonferenza, allora è un rombo. 25 Un trapezio rettangolo è circoscritto a una circonferenza di raggio r. Se il lato obliquo ha lunghezza k, il perimetro del trapezio è 2(k + 2r). 17 Il diametro di una circonferenza inscritta in un triangolo rettangolo è uguale alla differenza fra la somma dei cateti e l ipotenusa. (Suggerimento: utilizza il teorema 47). 26 Se un trapezio isoscele è circoscritto a una circonferenza, ogni suo lato obliquo è congruente alla semisomma delle basi. 27 18 Dato un triangolo inscritto in una circonferenza, considera la perpendicolare a un lato in uno dei suoi estremi. Tale perpendicolare interseca la circonferenza in un altro punto, individuando una corda. La corda così costruita è congruente al segmento avente come estremi l ortocentro del triangolo (cioè il punto di intersezione delle altezze) e il vertice opposto al lato rispetto al quale si è condotta la perpendicolare. Un trapezio isoscele è circoscritto a una circonferenza. Le basi b e b e il perimetro p sono legati dalla relazione p = 2(b + b ). 28 Le tangenti a una circonferenza, condotte dai vertici di un rettangolo in essa inscritto, si intersecano in quattro punti che sono i vertici di un rombo. 29 In ogni triangolo i piedi di due altezze, l ortocentro e il vertice della terza altezza sono vertici di un quadrilatero inscrivibile in una circonferenza. 30 In un esagono inscritto in una circonferenza la somma delle ampiezze di tre angoli, a due a due non consecutivi, è uguale alla somma delle ampiezze degli altri tre. 31 Se un poligono con un numero pari di lati è inscritto in una circonferenza, la somma delle ampiezze degli angoli di posto dispari, a partire da uno qualsiasi di essi, è uguale alla somma delle ampiezze degli angoli di posto pari. 32 Ogni poligono avente i lati congruenti e inscritto in una circonferenza è un poligono regolare. 33 Un poligono equilatero con un numero dispari di lati, circoscrivibile a una circonferenza, è regolare. 16 19 In ogni triangolo l asse di un lato interseca la bisettrice dell angolo opposto a tale lato in un punto della circonferenza circoscritta al triangolo. 20 Costruiti, sui lati di un triangolo qualunque, esternamente a esso, tre triangoli equilateri, le tre circonferenze circoscritte a tali triangoli si intersecano in un solo punto. 21 I prolungamenti delle altezze di un triangolo inscritto in una circonferenza dividono la circonferenza in tre archi, di cui i vertici del triangolo sono i punti medi (per punto medio di un arco si intende il punto che lo divide in due archi congruenti). 22 Se un trapezio è inscritto in una circonferenza, allora è un trapezio isoscele. 23 Se un rombo è inscritto in una circonferenza, allora è un quadrato. 295