7 Poligoni e aree E D altra parte, per il teorema di Pitagora applicato al triangolo ABH, il quadrato AEDB costruito sull ipotenusa AB di tale triangolo è equiesteso alla somma dei quadrati AHKL e BPQH costruiti sui cateti. A L B P H Q K F G D C Quindi: AreaAEDB = AreaBFGH = AreaPFGQ + AreaBPQH AreaAEDB = AreaAHKL + AreaBPQH Ne segue che: AreaAHKL = AreaPFGQ FISSA I CONCETTI Le dimensioni del rettangolo PFGQ sono: Q PQ (congruente alla proiezione BH del cateto AB sull ipotenusa); Q PF che, essendo PF = BF BP è congruente alla proiezione HC dell altro cateto sull ipotenusa. c.v.d. Q Q Come il primo, anche il secondo teorema di Euclide stabilisce una nuova relazione tra gli elementi di un triangolo rettangolo. In particolare, tra l altezza dei cateti e le loro proiezioni sull ipotenusa. A h B p H a q Q Primo teorema di Euclide: in ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equiesteso al rettangolo avente per lati l ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull ipotenusa. Per ogni poligono si può trovare un quadrato a esso equiesteso. Secondo teorema di Euclide: in ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull altezza relativa all ipotenusa è equiesteso al rettangolo che ha come lati le proiezioni perpendicolari dei due cateti sull ipotenusa. C Indicata con AH la sua altezza rispetto all ipotenusa BC, abbiamo, per il secondo teorema di Euclide che il quadrato costruito sull altezza è equiesteso al rettangolo di lati BH e CH. Se le rispettive lunghezze dei segmenti considerati sono quelle indicate in figura, questa relazione può essere così riscritta: h2 = p q APPROFONDIMENTO A L relazione qui a fianco può La essere anche così riscritta, ricordando le proprietà delle proporzioni: p:h=h:q Così riscritta, risulta evidente che in un triangolo rettangolo l altezza relativa all ipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull ipotenusa. 3.3 Le terne pitagoriche Fino a ora abbiamo visto l aspetto geometrico del teorema di Pitagora; vediamo ora un interessante aspetto algebrico. Tre numeri naturali a, b, c che verificano la relazione del teorema di Pitagora: b2 + c2 = a2 sono detti terna pitagorica. 285