GEOMETRIA A b c B a C Per esempio (3 ; 4 ; 5) è una terna pitagorica, perché 32 + 42 = 52. Ogni terna formata con multipli, secondo lo stesso fattore, di una terna pitagorica è una terna pitagorica. Per esempio, (3 2 ; 4 2 ; 5 2) = (6 ; 8 ; 10) è una terna pitagorica. Infatti: 62 + 82 = 102 In generale, quindi: (b ; c ; a) terna pitagorica (kb ; kc ; ka) terna pitagorica con k > 0 Pimpliton 322. FISSA I CONCETTI Tre numeri naturali che verificano la relazione del teorema di Pitagora: b 2 + c 2 = a 2 sono detti terna pitagorica. 286 Poiché, per ogni n intero, n2 + 2n + 1 = (n + 1)2, se consideriamo un numero dispari (2n + 1) quadrato perfetto, a partire da esso possiamo trovare una terna _ pitagorica, che è (n ; (2n + 1) ; n + 1). Per esempio 25 = 2 12 + 1 è un quadrato perfetto, in cui n = 12. La terna pitagorica è perciò (12; 5; 13). Infatti: 122 + 52 = 144 + 25 = 169 = 132 Una tavoletta del periodo babilonese (prima metà del XVIII secolo a.C.), conosciuta con il nome Plimpton 322, dimostra come il problema aritmetico, collegato a quello geometrico, fosse già noto ben prima dei greci e nella stessa tavoletta si ritrova una procedura per calcolare terne pitagoriche: dati due numeri m, n interi positivi (con m > n) e posti: b = m 2 n2 c = 2mn a = m2 + n2 (b ; c ; a) è una terna pitagorica. Infatti: b2 + c2 = (m2 n2)2 + (2mn)2 = m4 + n4 2m2n2 + 4m2n2 = = m4 + n4 + 2m2n2 = (m2 + n2)2 = a2 Per esempio, se m = 5 e n = 2, abbiamo: b = 52 22 = 21 c = 2 5 2 = 20 a = 52 + 22 = 29 (21 ; 20 ; 29) è una terna pitagorica. Infatti: 212 + 202 = 441 + 400 = 841 = 292