GEOMETRIA 3.2 I teoremi di Euclide Come già sai (par. 2.3, unità 3) se tracciamo dagli estremi A e B di un segmento le perpendicolari a una retta r, a cui il segmento non appartiene, otteniamo su r un segmento A B che è detto proiezione di AB su r. B A r B A proiezione di AB su r esempio O In quali casi è minima e in quali è massima la proiezione perpendicolare di un segmento su una retta? Abbiamo la proiezione minima nel caso in cui il segmento è perpendicolare alla retta: in tale caso, infatti, la proiezione si riduce a un punto. Abbiamo la proiezione massima nel caso in cui il segmento è parallelo alla retta. In tale caso la proiezione perpendicolare è congruente al segmento dato perché, con riferimento alla figura precedente, A B BA in questo caso è un rettangolo. Approfondisci Dimostrazione del teorema 60 TEOREMA 60 (primo teorema di Euclide) E In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equiesteso al rettangolo avente per lati l ipotenusa e la proiezione perpendicolare del cateto stesso sull ipotenusa. A D B C H Il primo teorema di Euclide stabilisce così nuove relazioni tra gli elementi di un triangolo rettangolo. In particolare, tra l ipotenusa, un cateto e la sua proiezione sull ipotenusa. A BF BC ABDE BHGF F G APPROFONDIMENTO A L due relazioni qui a fianco Le possono essere anche così riscritte, ricordando le proprietà delle proporzioni: a:c=c:p a:b=b:q così riscritte, risulta evidente che in un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra l ipotenusa e la sua proiezione sull ipotenusa. 282 b c B p H a q C Indicata con AH l altezza rispetto all ipotenusa BC, per il primo teorema di Euclide abbiamo che: Q il quadrato costruito sul lato AB è equiesteso al rettangolo di lati BC e BH; Q il quadrato costruito sul lato AC è equiesteso al rettangolo di lati BC e CH; Se le rispettive lunghezze dei segmenti considerati sono quelle indicate in figura, le relazioni possono essere così riscritte: b2 = a q c2 = a p Utilizziamo ora il primo teorema di Euclide per costruire, partendo da un rettangolo non quadrato, un quadrato a esso equiesteso. Dato un rettangolo ABCD possiamo eseguire la seguente costruzione.