7 La figura complessiva formata da C1 e C2 può essere completata anch essa con i quattro triangoli congruenti, fino a formare un quadrato che ha come lato la somma dei due cateti. Poligoni e aree T C2 T T T C1 Il quadrato I costruito sull ipotenusa è perciò equicompletabile con la somma dei due quadrati C1 e C2 costruiti sui cateti. Poiché I e la somma di C1 e C2 sono equicompletabili, essi sono anche equiestesi. c.v.d. Dato un numero reale positivo l, esistono infiniti segmenti di lunghezza l; su ognuno di essi possiamo costruire due quadrati tra loro simmetrici rispetto a l. l La procedura può estendersi ed essere applicata a ogni lato: esistono quindi infiniti quadrati di lato l, tutti congruenti e quindi equiestesi tra loro. La classe di quadrati di lato l, tra loro equiestesi, ha come caratteristica comune l area, espressa da un numero reale. DEFINIZIONE Si definisce area del quadrato di lato l il numero l2, numero che risulta comune a tutta la classe di quadrati tra loro equiestesi. APPROFONDIMENTO A L L equiestensione tra i quadrati sui cateti e il quadrato sull ipotenusa può anche essere ottenuta direttamente con la seguente scomposizione: Una volta definita l area di un quadrato, possiamo dare la formulazione algebrica del teorema di Pitagora. In ogni triangolo rettangolo, indicate con a la lunghezza dell ipotenusa e con b e c le lunghezze dei cateti, abbiamo: 4 A b c a2 = b2 + c2 B 1 a 2 _________________________________ d(P 1, P 2) = (x 2 x 1)2 + (y 2 y 1)2 4 5 3 1 FISSA I CONCETTI Q y P2 y2 y2 y1 P1 x2 x1 x1 3 5 C Come ricorderai, la formulazione algebrica del teorema di Pitagora fornisce, nel piano cartesiano, il modo per determinare la distanza tra due punti: y1 2 Q Q x2 x Il piano cartesiano risulta così un modello adeguato per l insieme degli assiomi a partire dai quali abbiamo costruito la geometria. Teorema di Pitagora: in ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull ipotenusa è equiesteso alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. Area del quadrato di lato l: è il numero reale l 2. Formulazione algebrica del teorema di Pitagora: a 2 = b 2 + c 2 se a è la lunghezza dell ipotenusa, mentre b e c sono quelle rispettive dei due cateti. 281