GEOMETRIA FISSA I CONCETTI Q Q Q Q Ogni triangolo è equiesteso a un rettangolo di uguale base e metà altezza. Due triangoli con base e altezza uguale sono equiestesi. Ogni poligono è equiesteso a un rettangolo. Ogni parallelogramma è equiesteso a un rettangolo con uguali base e altezza. Esercizi da pag. 298 In tutti i tre casi i triangoli ADF e BCE sono congruenti per il primo criterio di congruenza (LAL). Infatti: Q AF BE (lati opposti del rettangolo); Q AD BC (lati opposti del parallelogramma); D EB C (perché angoli formati da coppie di lati paralleli). Q FA Per i primi due casi ciò è sufficiente per la dimostrazione, perché il rettangolo e il parallelogramma risultano così equiscomposti in una figura comune (trapezio nel primo caso e triangolo nel secondo) e in un triangolo congruente. Nel terzo caso, ai due triangoli congruenti ADF e BCE sottraiamo il triangolo comune EGD. I due poligoni AGEF e BCDG risultano equicompletabili e, quindi, equiestesi. Sono perciò anche equiestesi il rettangolo e il parallelogramma. c.v.d. 3 Il teorema di Pitagora e i teoremi di Euclide 3.1 Il teorema di Pitagora Il metodo della equicompletabilità dei poligoni per dimostrare la loro equiestensione è utilizzato per una delle più classiche dimostrazioni del teorema di Pitagora, stabilito, secondo la tradizione, dal matematico e filosofo greco Pitagora di Samo nel VI secolo a.C. APPROFONDIMENTO A C l espressione «somma di Con quadrati intendiamo indicare la figura formata dall unione dei due quadrati, purché questi abbiano intersezione vuota (non abbiano parti sovrapposte). TEOREMA 59 (teorema di Pitagora) In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull ipotenusa è equiesteso alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. Dimostrazione Dato un triangolo ABC retto in A, indichiamo con I il quadrato costruito sull ipotenusa e con C1 e C2 i due quadrati costruiti sui cateti. Ip: ABC rettangolo in A Ts: I C1 + C2 C2 C1 A T B C I PROVA TU Veri chiamo il teorema di Pitagora con GeoGebra 280 Il quadrato I può essere completato con quattro triangoli rettangoli, tutti congruenti ad ABC e indicati con T, fino a formare un quadrato che ha come lato la somma dei due cateti. T T I T T