7 Poligoni e aree Viceversa, due poligoni congruenti hanno necessariamente la stessa estensione. L equiestensione è una condizione necessaria, ma non sufficiente, per la congruenza di poligoni. poligoni equiestesi, ma non congruenti Togliendo a due figure equiestese poligoni congruenti, otteniamo ancora figure equiestese perché risultano ancora equiscomponibili. vero anche l inverso: se, aggiungendo poligoni tra loro congruenti a due figure, otteniamo due figure equiestese, necessariamente le due figure di partenza sono equiestese. FISSA I CONCETTI Q Così, F e F , in questo disegno, sono equiestese perché si possono completare nello stesso modo, ottenendo due rettangoli R e R equiestesi. Q F R F R Q Q In generale, se aggiungendo a due figure lo stesso numero finito di poligoni congruenti si ottengono due figure congruenti, allora le due figure sono equiestese. Due figure equiestese ottenute in questo modo si dicono equicompletabili. Per dimostrare che due figure sono equiestese abbiamo due possibilità: o le scomponiamo in poligoni congruenti in modo da dimostrarne l equiscomponibilità, oppure le completiamo con poligoni congruenti, in modo da dimostrarne l equicompletabilità. Q Q Due poligoni si dicono equiscomponibili se possono essere scomposti nello stesso numero finito di poligoni tra loro congruenti. L equiscomponibilità è una relazione di equivalenza. Due poligoni equiscomponibili si dicono equiestesi. L equiestensione è una condizione necessaria, ma non sufficiente, per la congruenza di poligoni. Due figure sono equicompletabili se, aggiungendo un numero finito di poligoni rispettivamente congruenti, si ottengono due figure congruenti. Due poligoni equicompletabili sono equiestesi. 2.3 Ogni poligono è equiesteso a un rettangolo Con i seguenti teoremi dimostreremo come ogni poligono sia equiesteso a un opportuno rettangolo. TEOREMA 55 Ogni triangolo è equiesteso a un rettangolo di uguale base e metà altezza. Ip: ABC triangolo di base AB e altezza CH; ABDE rettangolo di base AB CH e AE = _ Th: ABC ABDE 2 Dimostrazione Consideriamo un triangolo ABC e, come base, il suo lato maggiore AB (vedi fig. a pag. seguente). Per i teoremi 16 e 21, i suoi angoli in B e in A sono necessariamente acuti e l altezza CH cade internamente alla base AB. Consideriamo poi il rettangolo ABDE, di base AB, coincidente con quella del ¯ CH ¯ = ____ . triangolo ABC, e di altezza BD 2 ATTENZIONE! A L scrittura ABC ABDE si legge La il triangolo ABC è equiesteso al rettangolo ABDE . Q In base al teorema 16, che afferma che la somma degli angoli di un triangolo è un angolo piatto, un triangolo può avere al massimo un angolo ottuso e, se esiste, tale angolo è, per il teorema 21, quello opposto al lato maggiore. Q 277