7 A5 Poligoni e aree A4 APPROFONDIMENTO A O A6 A1 A3 A2 N dimostrare il teorema 51 Nel abbiamo anche dimostrato che ogni poligono regolare di n lati è formato da n triangoli isosceli congruenti, ognuno dei quali ha come base un lato del poligono e come altezza il suo apotema. I triangoli OA1A2, OA2A3, , OA3An sono tra loro congruenti per il primo criterio (LAL) e pertanto le altezze relative ai lati congruenti sono a loro volta congruenti. Ne segue la tesi. c.v.d. Il centro delle circonferenze inscritta e circoscritta al poligono è anche detto centro del poligono; il raggio della circonferenza circoscritta è detto raggio del poligono, mentre il raggio della circonferenza inscritta è detto apotema. D E centro C O raggio A H apotema B Consideriamo i poligoni regolari e vediamo quali simmetrie presentano. Analizzando le figure seguenti, osserviamo che il tipo di simmetria dei poligoni regolari dipende dal numero n dei vertici: Q se n è pari, il poligono regolare è simmetrico sia centralmente (rispetto al suo n centro O) sia assialmente (rispetto a n assi, di cui _ si sovrappongono ai suoi 2 n raggi e _ si sovrappongono ai suoi apotemi); 2 Q KEYWORDS K c centro del poligono / polygon centre raggio del poligono / ray of a polygon apotema / apothem se n è dispari, il poligono regolare non è simmetrico centralmente, ma soltanto assialmente rispetto a n assi, ognuno dei quali passa per un suo vertice ed è perpendicolare al lato opposto. APPROFONDIMENTO A Al Alcuni poligoni regolari, quali il triangolo equilatero o l esagono, si possono costruire facilmente con riga e compasso. Per altri poligoni regolari la costruzione risulta più difficile. In particolare per molti secoli è stata cercata una procedura per costruire con riga e compasso l ettagono regolare, cioè il poligono regolare con 7 lati. Ebbene, nel XIX secolo, Carl Friedrich Gauss (1777-1855), fisico, astronomo e uno dei più grandi matematici di tutti i tempi, dimostrò che tale costruzione non è possibile utilizzando soltanto la riga e il compasso. Per l esattezza, Gauss dimostrò che perché un poligono regolare sia costruibile con riga e compasso è sufficiente che il numero n dei suoi lati, scomposto in fattori primi, contenga il fattore 2 o soltanto fattori primi 2m + 1 (con m N). così costruibile il pentagono regolare (perché 5 = 22 + 1), ma non l ettagono regolare (perché 7 non è scrivibile come 2m + 1). Fu poi il matematico Pierre Wantzel (1814-1848) a dimostrare che tale condizione è anche necessaria. 273