GEOMETRIA 1 A 2 A n, A 1 A 2 A 2 A 3 A n A 1 Ip: A Ts: esiste un punto O tale che: A 1 O A 2 O A n O Consideriamo due vertici consecutivi, A1 e A2 e gli angoli del poligono corrispondenti. Tali angoli sono convessi e dalla stessa parte rispetto al lato A1A2; pertanto le loro bisettrici si intersecano in un punto, che indichiamo con O. Per ipotesi, gli angoli del poligono in A1 e in A2 sono congruenti; sono A 1 A 2 e O A 2 A 1, loro metà. Il triangoperciò congruenti anche gli angoli O lo OA1A2 è, quindi, isoscele e OA1 OA2 (teorema 5). A5 A6 A4 A3 O A1 A2 Congiungiamo O con A3 e consideriamo i triangoli OA1A2 e OA2A3. Abbiamo: 2O OA 2 A 3 (per costruzione, in quanto OA2 è bisettrice di A 1A 2 A 3); A 1A A1A2 A2A3 (per ipotesi); OA2 in comune. A5 A4 O A6 A1 A3 A2 I due triangoli sono perciò congruenti per il primo criterio di congruenza (LAL). Ne segue che anche OA2A3 è isoscele e, in particolare, OA3 OA2. Il ragionamento può essere condotto identicamente per tutti i vertici successivi, fino ad arrivare al vertice An. A5 A4 O A6 A1 A3 A2 II. Dimostriamo ora la seconda parte del teorema; in particolare dimostriamo che il centro della circonferenza circoscritta è anche centro della circonferenza inscritta in quanto è equidistante da tutti i lati del poligono. 1 A 2 A n, A 1 A 2 A 2 A 3 A n A 1, O è il centro della Ip: A circonferenza circoscritta Ts: d(O, A 1 A 2) = d(O, A 2 A 3) = = d(O, A n A 1) 272