7 Poligoni e aree esempio O Individua un poligono di quattro lati con le seguenti caratteristiche. a. Abbia i quattro lati tra loro congruenti, ma non sia regolare perché i quattro angoli non sono congruenti. Il rombo non quadrato non è un poligono regolare perché gli angoli non sono tutti congruenti. b. Abbia i quattro angoli tra loro congruenti, ma non sia regolare perché i quattro lati non sono congruenti. Il rettangolo non quadrato non è un poligono regolare perché i lati non sono tutti congruenti. Come mostra l esempio precedente, le due caratteristiche proprie di un poligono regolare (avere angoli congruenti e lati congruenti) sono indipendenti ed entrambe necessarie. Questo è un esempio di esagono non regolare perché, pur avendo i lati tra loro congruenti, non ha gli angoli tutti congruenti. Questo è un esempio di esagono non regolare perché, pur avendo gli angoli tra loro congruenti, non ha i lati tutti congruenti. I poligoni regolari, come afferma il seguente teorema, sono inscrivibili e circoscrivibili. TEOREMA 51 Ogni poligono regolare ha una circonferenza inscritta e una circonferenza circoscritta e le due circonferenze sono concentriche. Dimostrazione Sia A1A2 An un poligono regolare di n lati (in figura n = 6, ma la dimostrazione vale per ogni n 3). A5 A4 A6 A3 A1 I. A2 Dimostriamo dapprima che esiste la circonferenza circoscritta al poligono regolare. Per far ciò dobbiamo dimostrare che tutti i suoi vertici appartengono a una stessa circonferenza e, quindi, sono equidistanti da un punto. 271