7 Poligoni e aree Non tutti i quadrilateri, ma solo alcuni di essi, hanno una circonferenza inscritta o una circonferenza circoscritta. I successivi teoremi forniscono le condizioni affinché sia possibile costruire la circonferenza inscritta o la circonferenza circoscritta a un quadrilatero. TEOREMA 49 Un quadrilatero è circoscrivibile a una circonferenza se e solo se le somme dei lati opposti sono congruenti. Dimostrazione Il teorema dà la condizione affinché un quadrilatero abbia una circonferenza in esso inscritta. Il teorema si compone di due parti, l una inversa dell altra. Dimostriamo qui solo la prima parte del teorema, lasciando come esercizio la dimostrazione del teorema inverso. Ip: ABCD circoscritto Ts: AB + CD AD + BC I punti A, B, C, D sono punti esterni alla circonfeD L renza e da essi sono condotte le tangenti. Per C esempio, AH e AM sono le due tangenti condotte dal punto A (per definizione di poligono circoK M scritto a una circonferenza). O Per il teorema 47, i due segmenti di tangente da ogni punto esterno a una circonferenza sono conA B gruenti. Abbiamo perciò le seguenti congruenze: H AH AM; BH BK; CL CK; DL DM Poiché segmenti congruenti hanno la stessa lunghezza abbiamo che: ¯ = AM ¯; BH ¯ = CK ¯; DL ¯ = BK ¯; CL ¯ = DM ¯ AH Addizionando otteniamo: ¯ + BH ¯ + DM ¯ + DL ¯ ¯ + CL ¯ = AM ¯ + BK ¯ + CK AH ¯ + CD ¯ + BC ¯ = AD ¯ cioè: AB Avendo la stessa lunghezza le somme dei lati opposti sono tra loro congruenti. c.v.d. TEOREMA 50 Un quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza se e solo se gli angoli opposti sono supplementari. Dimostrazione Anche questo teorema si compone di due parti, l una inversa dell altra. Dimostriamo qui solo la prima parte del teorema, lasciando come esercizio la dimostrazione del teorema inverso. Ip: ABCD inscritto D + BC D = 180°, AB C + AD C = 180° Ts: BA Poiché ABCD è inscritto in una circonferenza di cen C insistono su BC e A D tro O, i due angoli opposti A archi complementari e quindi (per il quarto corollario del teorema 46) sono supplementari. Per lo stesso motivo sono tra loro supplementari an D. AD e BC che gli angoli B D A C O B c.v.d. 269