6 ESERCIZI Cerchi e circonferenze 29 s e sO t sono due angoli consecutivi e m è la bisettrice di rO s, allora l ampiezza di rO m è Dimostra che, se rO uguale alla semidifferenza delle ampiezze degli angoli rOt e sOt (per semidifferenza intendiamo la metà della differenza). 30 Considera in un triangolo l altezza e la bisettrice condotte da uno stesso vertice. Dimostra che l ampiezza dell angolo formato dalla bisettrice e dall altezza considerate è uguale al valore assoluto della semidifferenza delle ampiezze degli altri due angoli del triangolo (per semidifferenza intendiamo la metà della differenza). 1.3 La distanza tra due figure 1.4 Luoghi di punti equidistanti 31 che, se si considera un triangolo isoscele ABC di base AB, il segmento che unisce il vertice C con [ ] un punto qualsiasi della base risulta minore di ciascun lato obliquo. 32 DIMOSTRA 33 Siano dati nel piano una circonferenza e un punto P non appartenente a . Trova tra i punti di , [ ] quello più vicino a P e quello più lontano da P. Giustifica la risposta. DIMOSTRA che in ogni triangolo la somma delle mediane è minore del perimetro. [ ] SFIDA [Syllabus di matematica 1999] [ ] Determina i seguenti luoghi di punti. esercizio svolto Luogo dei punti equidistanti dai punti di una retta e da un punto a essa non appartenente. Consideriamo P r e tre punti A, B, C r. Tracciamo i segmenti PA, PB e PC. Dobbiamo trovare il luogo dei punti medi dei diversi segmenti. P M A N B Q C r Poiché nei diversi segmenti si mantiene la congruenza (AM MP, BN NP, CQ QP), si stabilisce la corrispondenza definita dalla proiezione parallela tra le rette dei segmenti. Il luogo cercato è pertanto una retta parallela a r e che è a uguale distanza da P e da r. 34 Luogo dei punti equidistanti da due rette parallele. 39 35 Luogo dei punti medi dei segmenti che hanno gli estremi su due rette parallele. 40 Luogo dei punti simmetrici di una retta r rispetto Luogo dei punti che costituiscono il terzo vertice dei triangoli, con altezze congruenti, costruiti sulla stessa base. 41 Luogo dei punti P per i quali, essendo A e B due B PB A. punti fissati, PA 42 Luogo dei punti equidistanti da tre rette a due a due non parallele e che non si intersecano nello stesso punto. (Suggerimento: sono quattro punti; considera le bisettrici degli angoli sia interni sia esterni del triangolo, ). 36 37 Luogo dei punti che sono le intersezioni di parallelogrammi con altezze congruenti e costruiti sulla stessa base. 38 Luogo dei punti equidistanti da tre punti non allineati (è un solo punto). Luogo dei punti simmetrici di una retta r rispetto a una retta s a essa parallela. a una retta s a essa incidente. Analizza anche il caso in cui r s. 255