GEOMETRIA IV COROLLARIO Due angoli alla circonferenza che insistono su archi complementari sono supplementari. I due angoli alla circonferenza sono, infatti, la metà dei corrispondenti angoli al centro che, uniti, formano l angolo giro. La loro somma è, quindi, un angolo piatto. O esempio O Dimostra le seguenti proposizioni. a. Abbiamo un triangolo e la circonferenza passante per i suoi vertici: il triangolo è rettangolo se e solo se il lato maggiore (la sua ipotenusa) coincide con il diametro della circonferenza. b. In un triangolo rettangolo la mediana relativa all ipotenusa è la metà dell ipotenusa stessa e viceversa. A FISSA I CONCETTI Q Q Q Q Q Q Angolo al centro: angolo il cui vertice è il centro del cerchio. Angolo alla circonferenza: è un angolo con vertice un punto della circonferenza. L arco è una parte di circonferenza delimitata da due punti, detti estremi dell arco. Semicirconferenza: un arco di circonferenza con estremi diametralmente opposti. La corda AB che ha come estremi gli estremi dell arco AB si dice sottesa da AB. Un angolo (al centro o alla circonferenza) insiste su un arco se i lati intersecano la circonferenza negli estremi dell'arco e questo interno all angolo. Dimostrazione Per il teorema 43, per i vertici di un triangolo passa una e una sola circonferenza: ciascun vertice è un angolo alla circonfeB C M renza. a. Se il triangolo ABC è rettangolo, allora per il terzo corollario del teorema C insiste sulla semicirconferenza di estremi B e C e 46, l angolo retto BA l ipotenusa pertanto coincide con il diametro BC. Viceversa, se il lato maggiore BC coincide con il diametro della corrispon C insiste su una semicirconferenza dente circonferenza, allora l angolo BA e, per il secondo corollario, è retto. b. Per l osservazione precedente, l ipotenusa di un triangolo rettangolo coincide con il diametro della circonferenza corrispondente. Poiché il punto medio del diametro è il centro della circonferenza, la mediana è anche suo raggio; è perciò la metà dell ipotenusa. Dimostriamo online il viceversa e cioè che «se in un triangolo la mediana relativa a un lato è la metà del lato stesso, allora il triangolo è rettangolo . A M Approfondisci Dimostrazione del viceversa dell'esempio b. 242 C B