6 Cerchi e circonferenze 3.3 Le tangenti a una circonferenza da un punto esterno TEOREMA 47 Da un punto P esterno a una circonferenza si possono condurre due tangenti PT e PT alla circonferenza e inoltre PT PT . P T r M O T s I due segmenti PT e PT sono detti segmenti di tangente da P alla circonferenza. Ip: P Ts: due rette (r e s) passanti per P | r = {T} e s = {T } ; inoltre PT PT Dimostrazione Uniamo P con il centro O della circonferenza e consideriamo il punto medio M del segmento OP. Con centro in M costruiamo la circonferenza di diametro OP. Essa ha un punto interno (O) e un punto esterno (M) alla circonferenza data; perciò la interseca in due punti T e T . Consideriamo i segmenti OT e PT. P insiste su una semicirconferenza e quindi è retto (II corollario L angolo OT del teorema 46). Perciò la retta PT è tangente alla circonferenza nel punto T. Ripetendo simmetricamente la stessa costruzione sull altro semipiano deter P anch esso retto: la retta minato dalla retta per PO, otteniamo l angolo OT PT è tangente alla circonferenza nel punto T . APPROFONDIMENTO A D un punto P interno alla Da circonferenza, non si può condurre alcuna tangente alla circonferenza perché qualunque retta per P ha alcuni punti con distanza dal centro minore del raggio. Se P appartiene alla circonferenza, c è una sola tangente alla circonferenza passante per P perché è unica la perpendicolare per P al raggio OP. Proprio per la simmetria della costruzione, i due segmenti di tangente, PT e PT hanno la stessa lunghezza. c.v.d. Dalla simmetria della costruzione dei punti di tangenza ricaviamo il seguente corollario. COROLLARIO Dato un punto P esterno a una circonferenza di centro O e considerate la semiretta PO e le due semirette PT e PT tangenti alla circonferenza: a. la semiretta PO è la bisettrice dell angolo T ; T P b. la semiretta PO è l asse del segmento TT . P T T O FISSA I CONCETTI Da un punto P esterno a una circonferenza è possibile condurre due tangenti PT e PT alla circonferenza e inoltre PT PT 243