GEOMETRIA esempio O Stabilisci quali, tra le seguenti proposizioni, sono vere. a. Ogni arco di circonferenza individua una sola corda a esso sottesa. b. Ogni angolo al centro individua un solo arco. c. Ogni coppia di punti individua un solo angolo al centro. d. Ogni corda individua un solo arco. Disegniamo le figure corrispondenti ai quattro casi: B B O O A a. O A A b. B B A c. d. a. e b. sono vere. La proposizione c. non è vera, perché una coppia di punti della circonferenza definisce due archi, cui corrispondono due diversi angoli al centro. Anche la proposizione d. non è vera perché una corda individua due archi. B O In una circonferenza di centro O, una corda AB che non sia il diametro individua B convesso nel quale è contenuta e i cui lati passano un solo angolo al centro AO per A e per B e un solo arco AB contenuto in tale angolo. Una corda, un angolo al centro e un arco così disposti si dicono corrispondenti. TEOREMA 45 A In ogni circonferenza due corde sono congruenti se e solo se gli angoli al centro corrispondenti sono congruenti. Dimostrazione Indichiamo con O il centro della circonferenza e con AB e CD due sue corde. Il teorema si compone di due parti che dimostriamo separatamente. B O C B CO D a. Ip: AB CD Ts: AO Consideriamo i triangoli AOB e COD. In essi: Q OA OC (perché raggi della stessa circonferenza); Q OB OD (perché raggi della stessa circonferenza); Q AB CD (per ipotesi). D I due triangoli sono congruenti per il terzo criterio (LLL). B CO D Quindi AO B CO D Ts: AB CD b. Ip: AO Nei triangoli AOB e COD abbiamo: B CO D (per ipotesi); Q AO Q OA OC (perché raggi della stessa circonferenza); Q OB OD (perché raggi della stessa circonferenza). I due triangoli sono congruenti per il primo criterio (LAL). Quindi AB CD. 240 A c.v.d.