GEOMETRIA O Possono esserci su una circonferenza tre punti allineati? O b. A B C No. Infatti, se tre punti allineati distinti A, B, C appartenessero alla stessa circonferenza, essi dovrebbero avere la stessa distanza dal suo centro O. Ma, se supponiamo che B stia fra A e C e che già OA OB, necessariamente OB < OC. O è un angolo acuto, essendo alla base di un triangolo isoscele Infatti AB BC è allora un (come conseguenza del teorema 16). Il suo supplementare O angolo ottuso e a esso, per il teorema 21, si oppone il lato maggiore (fig. b.). Poiché in una circonferenza non possono esserci tre punti allineati, cioè appartenenti alla stessa retta, si deduce che una retta e una circonferenza si intersecano al massimo in due punti distinti. O Tre punti non allineati determinano invece univocamente una circonferenza, come ora dimostriamo. TEOREMA 43 Per tre punti non allineati passa una e una sola circonferenza. Ip: A, B, C non allineati Ts: esiste una e una sola circonferenza con A, B, C appartenenti a essa Dimostrazione Il teorema afferma sia l esistenza sia l unicità della circonferenza per tre punti non allineati. A B O C a. Esistenza: dati tre punti non allineati A, B, C, si considerano l asse del segmento AB e quello del segmento BC. Poiché i segmenti AB e BC appartengono a due rette non parallele, i due assi non sono paralleli e si intersecano in un punto, che indichiamo con O. FISSA I CONCETTI Q Q Retta e circonferenza si intersecano al massimo in due punti. Per tre punti non allineati passa una e una sola circonferenza. 236 Il punto O ha le seguenti caratteristiche: Q OA OB (perché O appartiene all asse di AB, teorema 38); Q OB OC (perché O appartiene all asse di BC, teorema 38). Ma allora, per la transitività della congruenza, abbiamo: OA OC La circonferenza che ha centro O e come raggio la comune distanza dei tre punti da O è dunque una circonferenza passante per i tre punti. b. Unicità: una qualunque altra circonferenza che passasse per i tre punti non allineati dati dovrebbe avere il centro nello stesso punto O, prima determinato come intersezione dei due assi (per il teorema 1). Avendo lo stesso centro e lo stesso raggio, tale circonferenza coinciderebbe con quella già trovata. c.v.d.