6 Cerchi e circonferenze TEOREMA 41 Ogni diametro appartiene all asse delle infinite corde a esso perpendicolari. Ip: CD diametro della circonferenza di centro O C e raggio OC Ts: CD asse della corda AB, A, B appartenenti B alla circonferenza con AB perpendicolare O a CD A D Dimostrazione Considerati il diametro CD di una circonferenza di centro O e una corda AB a esso perpendicolare, abbiamo OA OB perché sono entrambi raggi e, quindi, per il teorema 38, CD è asse di AB. La dimostrazione si può ripetere per ogni altra corda A B perpendicolare a CD. c.v.d. Come corollario abbiamo che: COROLLARIO Ogni raggio interseca nel punto medio ogni corda a esso perpendicolare. L isometria mantiene tutte le distanze e la circonferenza è il luogo dei punti che hanno tutti la stessa distanza da un punto O, il suo centro. Quindi, una isometria trasforma una circonferenza necessariamente in un altra circonferenza di uguale raggio e di centro il punto O corrispondente di O. Oltre che ai segmenti, agli angoli e ai poligoni, la relazione di congruenza può dunque essere estesa anche alle circonferenze e ai cerchi. Il criterio di congruenza per cerchi (o circonferenze) rimanda direttamente al concetto di distanza: due cerchi (o circonferenze) sono congruenti se e solo se hanno uguale raggio. TEOREMA 42 In ogni cerchio, due corde sono congruenti se e solo se hanno la stessa distanza dal centro. FISSA I CONCETTI Q Q Q Q Q Q Q Corda: segmento che ha per estremi due punti di una circonferenza. Diametro: corda che contiene il centro. Il cerchio è una figura convessa: tutti i punti di ogni sua corda sono interni a esso. Il diametro è la corda di lunghezza maggiore. Il diametro è asse delle corde a esso perpendicolari. Due circonferenze (o due cerchi) di uguale raggio sono congruenti. Due corde di un cerchio sono congruenti se e solo se hanno la stessa distanza dal centro. Approfondisci Dimostrazione del teorema 42 2.3 Identificare una circonferenza Per un punto P passano infinite circonferenze: infatti qualunque altro punto C del piano può essere il centro di una circonferenza di raggio CP. esempi B O Quante sono le circonferenze passanti per due punti dati? Qual è il luogo descritto dai loro centri? Le circonferenze passanti per due punti dati A e B sono infinite. Poiché esse hanno in comune la corda AB, i loro rispettivi centri devono appartenere all asse del segmento AB. Il luogo descritto dai loro centri è proprio l asse di AB. I centri delle circonferenze appartengono quindi alla stessa retta (fig. a.). A a. 235