6 Cerchi e circonferenze Dimostrazione P Indichiamo con s la perpendicolare a r condotta per P e con Q il punto di intersezione di r e s. Consideriamo un qualunque altro punto Q r. r Il triangolo PQQ è rettangolo, con angolo Q retto in Q. Il segmento PQ è l ipotenusa di Q tale triangolo e perciò (teorema 21) è maggiore del cateto PQ. s Il segmento di perpendicolare PQ è pertanto quello di lunghezza minima tra tutti i segmenti PQ che si possano tracciare. c.v.d. Utilizziamo il teorema precedente per definire la distanza tra due figure: è la minima fra le distanze tra due punti appartenenti rispettivamente a ciascuna delle due figure. d In base al teorema 36, la distanza tra un punto e una retta, indicata anche con d(P, r), è la lunghezza del segmento di perpendicolare condotto dal punto alla retta. Il punto H in cui il segmento di perpendicolare condotto dal punto P interseca la retta è anche detto piede della perpendicolare. piede della perpendicolare P d H r TEOREMA 37 La distanza tra due rette parallele è costante. Ip: r // s Ts: d(r, s) = costante s r A A B B ATTENZIONE! A N è significativo, nel piano, Non parlare di distanza tra due rette non parallele, anche se, applicando la definizione di distanza tra due figure come la minima delle distanze tra due punti, occorrerebbe dire che due rette non parallele, così come due figure qualunque che hanno intersezione non vuota, hanno nel piano distanza uguale a 0. Dimostrazione Consideriamo due punti qualunque A e B appartenenti a r. Da questi due punti tracciamo le due perpendicolari a s e indichiamo rispettivamente con A e B i punti di intersezione delle perpendicolari con s. Vogliamo dimostrare che d(A, A ) = d(B, B ). 229