GEOMETRIA L angolo giro è l angolo massimo perché coincide con l intero piano. Per motivi storici, a esso è associata una ampiezza di 360 gradi (360°). L unità di misura degli angoli, il grado, è, quindi, la trecentosessantesima parte dell angolo giro. L ampiezza dell angolo nullo è 0°, l ampiezza dell angolo piatto è 180°. La seconda condizione posta nell assioma 11 garantisce che l ampiezza della somma di due angoli convessi è uguale alla somma delle loro ampiezze. ATTENZIONE! A L L assioma 11 stabilisce che, se un angolo minore dell angolo giro è somma di altri due, allora la sua ampiezza è somma delle loro rispettive ampiezze. Non stabilisce invece che la somma delle rispettive ampiezze di due angoli è uguale all ampiezza dell angolo somma dei due. esempi O Verifica l intervallo di ampiezze, in gradi, per i seguenti angoli: a. angolo acuto tra 0° e 90° b. angolo convesso ottuso tra 90° e 180° c. angolo concavo tra 180° e 360° B ha ampiezza 270°. Un angolo BO C ha ampiezza 180°. Qual O Un angolo AO è l ampiezza del loro angolo somma? (fai un disegno) In realtà, poiché un angolo è un sottoinsieme del piano, l unione dei due an B e BO C, che hanno lo stesso vertice, è l intero piano, cioè l angolo goli AO giro, la cui ampiezza è 360°. Non possono esistere, infatti, angoli di ampiezza maggiore dell angolo giro. Poiché 270° + 180° = 480° > 360°, non è in generale vero che la somma delle ampiezze di due angoli è uguale all ampiezza della loro somma. FISSA I CONCETTI Q Q Assioma dell ampiezza: a ogni angolo è associato un numero reale non negativo, detto ampiezza dell angolo, tale che: a) angoli congruenti hanno uguale ampiezza; b) se un angolo minore dell angolo giro è la somma di due angoli, la sua ampiezza è uguale alla somma delle loro ampiezze. Grado: è la trecentosessantesima parte dell angolo giro. B B O A AOB O BOC C O AOB BOC Come ricorderai, le isometrie del piano sono quelle trasformazioni geometriche che mantengono invariate le lunghezze dei segmenti e le ampiezze degli angoli, con gli assiomi 10 e 11 stabiliamo uno stretto legame tra tali trasformazioni e la relazione di congruenza: due figure sono congruenti se e solo se esiste una isometria che fa corrispondere l una all altra. 1.3 La distanza tra due figure Il teorema 21 (unità 3) stabilisce che, in un triangolo, ad angolo maggiore si oppone lato maggiore. Una sua immediata conseguenza è che, in un triangolo rettangolo, l ipotenusa è maggiore di ognuno dei due cateti. Il seguente teorema riformula, in termini di distanza, lo stesso concetto. TEOREMA 36 Dati una retta r e un punto P non appartenente a essa, il punto della retta avente distanza minima da P è il punto di intersezione tra r e la perpendicolare a r condotta per P. Ip: P r, s r, s r = {Q} Ts: d(P, Q) < d(P, Q ) Q r 228