GEOMETRIA Esercizi da pag. 252 ATTENZIONE! A H già utilizzato il concetto di Hai distanza tra due punti, per esempio nel piano cartesiano. Qui vogliamo definirlo rigorosamente a partire da assiomi. KEYWORDS K di distanza tra due punti / distance between two points 1 Lunghezze e ampiezze Gli assiomi e le definizioni che introdurremo in questo paragrafo collegheranno tra loro due mondi matematici diversi con cui sei già abituato a lavorare: quello delle figure geometriche e quello dei numeri. A ogni segmento e a ogni angolo, che sono le due figure geometriche di base finora considerate, sarà infatti associato un numero seguito da un simbolo, detto unità di misura, che ci parla del procedimento per determinarlo. Il numero associato sarà definito, infatti, come il risultato di un confronto tra la grandezza da misurare e un campione opportunamente scelto. 1.1 La distanza tra due punti ASSIOMA 10 (assioma della distanza) A ogni coppia di punti del piano è associato un numero reale non negativo, detto distanza tra i due punti e indicato con d, tale che, qualunque siano i punti A, B, del piano: a. d(A, B) = d(B, A) b. d(A, C) < d(A, B) + d(B, C) A, B, C non sono allineati c. d(A, C) = d(A, B) + d(B, C) B sta fra A e C d. d(A , B ) = d(A, B) A B è congruente ad AB Nella costruzione assiomatica viene così introdotta la distanza, che è caratterizzata dalle quattro condizioni espresse dall assioma. La distanza tra due punti è quindi un numero reale non negativo che esprime la lunghezza del segmento che ha i due punti come estremi. Esaminiamo le quattro caratteristiche della distanza stabilite dall assioma 10. a. Secondo questa condizione la distanza tra il punto A e il punto B è uguale alla distanza tra il punto B e il punto A: la distanza è simmetrica. Con tale condizione possiamo chiamare lunghezza di un segmento AB la distanza tra i suoi due estremi, senza dover specificare il loro ordine. b. Questa condizione assicura che la linea retta è la linea di minima distanza tra due punti. Infatti, dati due punti A e C e un qualunque altro punto B non allineato con essi, la distanza tra A e C è minore della somma delle distanze tra A e B e tra B e C. C B A Riformulata in un altro modo, questa condizione assicura che in ogni triangolo la lunghezza di ogni lato è minore della somma delle lunghezze degli altri due. c. Questa condizione assicura che la somma di due segmenti adiacenti ha lunghezza uguale alla somma delle lunghezze dei due segmenti. A B C Se poi applichiamo la condizione a tre punti coincidenti, otteniamo: d(A, A) = d(A, A) + d(A, A) d(A, A) = 2 d(A, A) d(A, A) = 0 Cioè, come ci si aspettava, la distanza tra un punto e sé stesso è nulla. 226