5 Quadrilateri 5 La proiezione parallela ESERCIZI Teoria da pag. 199 PER FISSARE I CONCETTI 103 Che cos è un fascio di rette parallele e perché esso 105 DIMOSTRA che la proiezione parallela mantiene la definisce una direzione? congruenza tra segmenti. 104 LESSICO Definisci la proiezione parallela di una ret- 106 Descrivi la procedura per dividere un segmento in n parti uguali senza utilizzare strumenti di misura. ta su un altra retta, secondo una fissata direzione. ESERCITARSI A DIMOSTRARE 5.1 La congruenza dei segmenti come invariante 5.2 Segmenti multipli in una proiezione parallela Dimostra i seguenti teoremi. [ ] esercizio svolto Se tra i punti A, B, C, e A , B , C , di due rette r e r è stabilita una corrispondenza tale che a segmenti congruenti sull una corrispondono segmenti congruenti sull altra, allora, se le rette congiungenti rispettivamente A e A e B e B sono parallele, tra le due rette è stabilita una proiezione parallela. Ip: AB BC A B B C (a due segmenti congruenti corrispondono due segmenti congruenti) AA // BB Ts: CC // BB // AA A A B B C C r P r Dimostrazione Dimostriamo il teorema per assurdo e supponiamo dunque, come ulteriore ipotesi, che CC non sia parallela ad AA e a BB . Sarebbe allora possibile condurre per C la retta parallela alle altre due, che (non coincidendo con CC ) intersecherebbe la retta r in un altro punto, che indichiamo con P. Poiché si suppone CP parallela a BB , il punto P sta dall altra parte di A rispetto a B . Per quanto dimostrato prima, abbiamo allora: AB BC A B B P Confrontando questa relazione con l ipotesi posta, otteniamo B C B P. Ma C e P sono sulla stessa retta, dalla stessa parte rispetto a B e alla stessa distanza da B ; allora, per l assioma 7, C deve necessariamente coincidere con P. Quindi, la retta CC è parallela alle altre due. 107 Se in un triangolo ABC una retta taglia i due lati AC e BC in modo che a segmenti congruenti su un lato corrispondano segmenti congruenti sull altro lato, allora tale retta è parallela al lato AB. 108 Si considerino un parallelogramma e un punto su una delle diagonali. Se si conducono da questo punto due parallele ai lati fino a intersecarli, si ottengono quattro parallelogrammi: due di essi hanno diagonali parallele a quelle del parallelogramma dato. 219