5 Quadrilateri Con il seguente teorema, detto di Talete, possiamo generalizzare tale proprietà anche al caso in cui il rapporto tra i due segmenti sia un qualunque numero reale positivo k. TEOREMA 33 (teorema di Talete) Un fascio di rette parallele determina, su due rette incidenti il fascio stesso, segmenti proporzionali. A B C A D B C I protagonisti della matematica r D r Ip: AB, CD appartenenti a r, A B , C D appartenenti a r (corrispondenA B AB ti in una proiezione parallela), ___ = k Ts: ____ = k CD C D Dimostrazione Per semplicità consideriamo soltanto il caso in cui k sia un numero razionale positivo, ma il teorema vale anche nel caso in cui k sia un numero irrazionale. p Se k Q+, allora può essere espresso come una frazione: k = _ (con q 0). q Abbiamo perciò: p AB _ AB CD ___ ___ ___ = CD q p q La p-esima parte di AB è congruente alla q-esima parte di CD. Per il teorema 31, allora, nella proiezione parallela, il corrispondente della p-esima parte di A B AB cioè _ è congruente al corrispondente della q-esima parte di ( p ) C D CD cioè _ . Abbiamo quindi: ( q ) A B _____ C D A B p ____ _____ = _ p q C D q c.v.d. Talete di Mileto (624-546 a.C.) è stato un filosofo, matematico e astronomo greco. Viene ricordato come uno dei Sette Saggi dell antichità greca. In una proiezione parallela abbiamo perciò: A B : C D = AB : CD. esempio O Dati tre segmenti AB, CD, EF, determina un segmento GH in modo che il AB EF rapporto ___ sia uguale al rapporto ____. CD GH Chiamiamo AB = a, CD = b, EF = c. Disponiamo i due segmenti a e b adiacenti e il segmento c su una retta s che non contenga a e b, come in figura a lato. Tracciando la retta r (che unisce gli estremi di a e c che non sono in comune) e la sua parallela r passante per l estremo di b non comune ad a, otteniamo il segmento di lunghezza x voluto: è quello che le parallele r e r individuano su s in base al teorema di Talete. Con la procedura appena vista costruiamo così il segmento che è quarto proporzionale rispetto a tre segmenti dati. r x r s c a b FISSA I CONCETTI Teorema di Talete: un fascio di rette parallele determina su due rette incidenti segmenti proporzionali. 203