GEOMETRIA APPROFONDIMENTO A L proiezione parallela mantiene la La relazione «stare fra tra i punti di una retta. Infatti, due distinte rette parallele hanno intersezione vuota, sicché un punto e il suo corrispondente stanno sullo stesso semipiano rispetto a qualunque retta del fascio. Se perciò P sta fra A e B, il suo corrispondente P sta fra A e B . TEOREMA 32 Se, su una retta, un segmento AB ha lunghezza maggiore di un segmento CD, allora, detti A B e C D i loro corrispondenti in una proiezione parallela, anche A B ha lunghezza maggiore di C D . A A P P B B C C D D FISSA I CONCETTI Q Q Se un segmento AB è multiplo di un segmento CD, anche il corrispondente segmento A B in ogni proiezione parallela è multiplo del corrispondente segmento C D In una proiezione parallela se AB > CD, anche A B > C D Esercizi da pag. 220 Ip: AB > CD Ts: A B > C D Dimostrazione Se AB è maggiore di CD, esiste allora un punto P compreso fra A e B tale che AP CD (assioma 7). Indicato allora con P il corrispondente di P nella proiezione parallela, abbiamo A P C D . Poiché P sta fra A e B , abbiamo A B > C D . c.v.d. 6 Il teorema di Talete Definiamo rapporto tra due segmenti un numero che rappresenta una relazione tra essi nel seguente modo: un segmento è doppio, triplo, , di un altro se esso è congruente alla somma di due, tre, , segmenti congruenti all altro. In questi casi il rapporto tra il primo e il secondo segmento è 2, 3, In generale, se un segmento AB è congruente alla somma di m segmenti congruenti a un altro, indicato con CD, allora il rapporto tra AB e CD è m. Diciamo allora che AB è multiplo di CD o anche che AB è m volte CD. Abbiamo visto (teorema 31) che in una proiezione parallela manteniamo la congruenza tra segmenti e, di conseguenza, anche il fatto che un segmento è multiplo di un altro. Più precisamente: AB 1. AB e CD sono due segmenti di una retta r tali che ___ = m; CD 2. A B e C D sono i corrispondenti dei segmenti precedenti in una proiezione A B parallela, allora abbiamo anche _____ = m. C D r A B r A C D B C D La relazione precedente è a volte scritta sotto forma di proporzione: A B : C D = AB : CD e le due coppie di segmenti, in quanto sussiste lo stesso rapporto, si dicono proporzionali. 202