5 Quadrilateri Dimostrazione Infatti, se la retta a cui il segmento MN appartiene non fosse parallela ad AB, allora ci sarebbe un altra parallela per M ad AB che intersecherebbe BC in un punto H diverso da N. Per il corollario precedente, H sarebbe il punto medio di BC; in BC ci sarebbero due distinti punti medi, il che è assurdo. c.v.d. III COROLLARIO In ogni triangolo il segmento che ha per estremi i punti medi di due lati è congruente alla metà del terzo lato. 1 Ip: AM MC, BN NC, MN // AB Ts: MN _ AB 2 Dimostrazione C M N A B P Se dal punto N si traccia il segmento NP // AC, APNM è un parallelogramma e quindi: MN AP (per il teorema 24b) AP PB (per il I corollario) Pertanto MN è congruente alla metà di AB. c.v.d. 5.2 Segmenti multipli in una proiezione parallela Possiamo estendere il teorema 31 a casi più generali. Una prima generalizzazione è la seguente: se sulla retta r il segmento AB è la somma di n segmenti adiacenti tra loro congruenti (e congruenti, per esempio, a un segmento CD), allora, indicati con A , B , C i corrispondenti di A, B, C in una proiezione parallela, anche A B è la somma di n segmenti tra loro congruenti (e congruenti a C D ). r A r C D A C D B B Inoltre, se un segmento AB è multiplo di un segmento CD (secondo un fattore n), anche il corrispondente segmento A B in ogni proiezione parallela è multiplo (secondo lo stesso fattore n) del corrispondente segmento C D . I teoremi precedenti giustificano la procedura che permette di dividere in parti uguali un segmento dato, senza usare strumenti di misura. Tale procedura è spiegata costruttivamente più avanti nell unità 8 par. 1.9). 201